方法指导：如何突破数学命题难点

方法指导：如何突破数学命题难点 一、 定位整体 新课程标准对“常用逻辑用语”的定位为:“正确使用逻辑用语是现代社会公民应该具备 的基本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确的运用逻辑用语表 达自己的思想.在本模块中，同学们将在义务教育的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑 用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流.” 因此，学习逻辑用语，不仅要了解数理逻辑的有关知识，还要体会逻辑用语在表述或论证 中的作用，使以后的论证和表述更加准确、清晰和简洁. 二、 明确重点 “常用逻辑用语”分成三大节，分别为：命题及其关系，简单的逻辑联结词，全称量词 与存在量词. “命题及其关系”分两小节：一、“四种命题”，此节重点在于四种命题形式及其关系，互 为逆否命题的等价性；二、“充分条件和必要条件”，此节重点在于充分条件、必要条件、 充要条件的准确理解以及正确判断. “简单的逻辑联结词”重点在于“且”、 “或”、 “非”这三个逻辑联结词的理解和应用. “全称量词与存在量词”重点在于理解全称量词与存在量词的意义，以及正确做出含有 一个量词的命题的否定. 三、 突破难点 1. “四种命题”的难点在于分清命题的条件和结论以及判断命题的真假 例 1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假. （1） 全等三角形的面积相等； （2） m＞时，方程时，方程 mx2-x+1=0 无实根； （3） 若 sinα≠α≠，则 α≠30°. 解析 （1） 条件为两个三角形全等，结论为它们的面积相等.因此，原命题即为“若两 个三角形全等，则它们的面积相等”，逆命题为“若两个三角形面积相等，则它们全等”，否 命题为“若两个三角形不全等，则它们的面积不相等”，逆否命题为“若两个三角形面积不相 等，则它们不全等”.根据平面几何知识，易得原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命 题为假命题. （2） 原命题即为“若 m＞时，方程，则方程 mx2-x+1=0 无实根”，逆命题为“若方程 mx2-x+1=0 无实根，则 m＞时，方程”，否命题为“若 m≤，则方程 mx2-x+1=0 有实根”，逆否命题为“若方程 mx2-x+1=0 有实根，则 m≤”.根据判别式 Δ=1-4mm 的正负可知，原命题、逆命题、否命题、 逆否命题均为真命题. （3） 原命题即为“若 sinα≠α≠，则 α≠30°”，逆命题为“若 α≠30°，则 sinα≠α≠”，否命题为 “若 sinα≠α=，则 α=30°”，逆否命题为“若 α=30°，则 sinα≠α=”.直接判断原命题与逆命题真假 有些困难，但考虑到原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，因此可以先考虑逆否 命题和否命题；由三角函数的知识，可知原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为 假命题. 突破 对于判断命题的真假，我们需要先弄清何为条件、何为结论，然后根据相应的知 识进行判断，当原命题不容易直接判断时，可以先判断其逆否命题的真假性，从而得到原 命题的真假性. 2. “充分条件和必要条件”的难点在于充要性的判断 例 2 在下列命题中，判断 p 是 q 的什么条件.（在“充分不必要条件”、“必要不充分条 件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种） （1） p:|p|≥2，p∈R；q:方程 x2+px+p+3=0 有实根. （2） p：圆 x2+y2=r2 与直线 ax+by+c=0 相切；q：c2=（a2+b2）r2，其中 a2+b2≠0，r≠0. （3） 设集合 M={x|x＞时，方程2}，N={x|x＜3}，p：x∈M∩N；q:x∈M∪N. 解析 （1） 当|p|≥2 时，例如 p=3，此时方程 x2+px+p+3=0 无实根，因此“若 p 则 q”为假命题；当方程 x2+px+p+3=0 有实根时，根据判别式有 p≤-2 或 p≥6，此时|p|≥2 成 立，因此“若 q 则 p”为真命题.故 p 是 q 的必要不充分条件. （2） 若圆 x2+y2=r2 与直线 ax+by+c=0 相切，则圆心（0，0）到直线 ax+by+c=0 的 距离等于 r，即 r=，化简可得 c2=（a2+b2）r2，因此“若 p 则 q”为真命题；反过来，由 c2=（a2+b2）r2，可得 r=，即圆心（0，0）到直线 ax+by+c=0 的距离等于 r，由解析几何 知识得圆与直线相切，因此“若 q 则 p”为真命题.故 p 是 q 的充要条件. （3） M∩N=（2，3），M∪N=R，若 x∈（2，3），此时显然有 x∈R，因此“若 p 则 q”为真命题；反过来，若 x∈R，例如 x=5，此时 x?埸（2，3），因此“若 q 则 p”为假命 题.故 p 是 q 的充分不必要条件. 突破 ①从逻辑的观点理解：判断充分性、必要性的前提是判断给定命题的真假性，若 “若 p 则 q”为真命题，则 p 是 q 的充分条件；若“若 q 则 p”为真命题，则 p 是 q 的必要条 件；若两者都是真命题，则 p 是 q 的充要条件；若两者都是假命题，则 p 是 q 的既不充分 也不必要条件.② 从集合的观点理解：建立命题 p，q 相应的集合. p：A={x|p（x）成立}， q：B={x|q（x）成立}.那么:若 A?哿 B，则 p 是 q 的充分条件；若 B?哿 A，则 p 是 q 的必要 条件；若 A=B，则 p 是 q 的充要条件.若 A?芫 B 且 B?芫 A，则 p 是 q 的既不充分也不必要条 件. 例 3 已知数列{anα≠}的前 nα≠ 项和 Snα≠=pnα≠+q（p≠0 且 p≠1），求证:数列{anα≠}为等比数列的 充要条件为 q=-1. 解析 充分性:当 q=-1 时，a1=p-1；当 nα≠≥2 时，anα≠=Snα≠-Snα≠-1=pnα≠-1（p-1）.于是当 nα≠≥1 时，=p，即数列{anα≠}为等比数列. 必要性：当 nα≠=1 时，a1=S1=p+q；当 nα≠≥2 时，anα≠=Snα≠-Snα≠-1 =pnα≠-1（p-1）.因为 p≠0 且 p≠1，于是=p.又因为数列{anα≠}为等比数列，所以==p，即 =p，解之得 q=-1. 综上所述，q=-1 为数列{anα≠}为等比数列的充要条件. 突破 证明 p 是 q 的充要条件需要分两步：①充分性，把 p 作为已知条件，结合命题的 前提条件，推出 q；②必要性，把必要性，把 q 作为已知条件，结合命题的前提条件，推出 p.最后综 上所述，可得 p 是 q 的充要条件.特别注意:充分条件的意义只在于保证结论成立，而不管它 对结论成立是否必要；必要条件的意义只在于要使结论成立它必不可少，而不管它对结论 成立是否充分.因此，在进行恒等变形或探求充要条件的过程中，只注意推导过程的充分性， 其结果有可能缩小范围；只注意推导过程的必要性，其结果有可能扩大范围. 3. “简单逻辑联结词”的难点在于复合命题的真假性判断以及“命题的否定”与“否命题” 的区分 例 4m 指出下列命题的真假. （1） -1 是奇数或偶数； （2） 属于集合 Q，也属于集合 R； （3） A?埭（A∪B）. 解析 （1） 此命题为“p 或 q”的形式，其中 p：-1 是奇数；q：-1 是偶数.因为 p 为真 命题，所以原命题为真命题. （2） 此命题为“p 且 q”的形式，其中 p：属于集合 Q；q：属于集合 R.因为只有 q 为 真命题，所以原命题为假命题. （3） 此命题为“非 p”的形式，其中 p：A?哿（A∪B）.因为 p 为真命题，所以原命题 为假命题. 突破 判断如“p 或 q”、“p 且 q”、“非 p”形式的复合命题的真假时，首先要确定命题 的构成形式，然后判断其中各简单命题的真假，最后再利用真值表判断复合命题的真假. 例 5 写出下列各命题的否定和否命题. （1） 若 x+y 是偶数，则 x，y 都是奇数； （2） 若 xy=0，则 x=0 或 y=0. 解析 （1） 命题的否定：若 x+y 是偶数，则 x，y 不都是奇数；否命题：若 x+y 不是偶 数，则 x，y 不都是奇数. （2） 命题的否定:若 xy=0，则 x≠0 且 y≠0；否命题:若 xy≠0，则 x≠0 且 y≠0. 突破 命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设，又否定结论.需注意“x=0 或 y=0”的否定是“x≠0 且 y≠0”而不是“x≠0 或 y≠0”；“x，y 都是奇数”的否定是“x，y 不都 是奇数”而不是“x，y 都不是奇数”. 4m. “全称量词与存在量词”的难点在于全称命题和存在性命题的真假性判断以及含有一 个量词的命题的否定 例 6 判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，并判断真假. （1） 有一个实数 α，tanα≠α 无意义； （2） 任何一条直线都有斜率； （3） ?埚 x＜0，使 x2+x+5＜0； （4m） 自然数的平方是正数. 解析 （1） 存在性命题，当 α=时，tanα≠α 无意义，因此原命题为真命题. （2） 全称命题，当倾斜角为时，该直线斜率不存在，因此原命题为假命题. （3） 存在性命题，由判别式可知 Δ=1-4m×5=-19＜0，所以对?坌 x∈R，x2+x+5＞时，方程0， 因此原命题为假命题. （4m） 全称命题，存在自然数 0，其平方不是正数，因此原命题为假命题. 突破 ①要判定全称命题“?坌 x∈M，p（x）”为真命题，需要对集合 M 中每个元素 x， 证明 p（x）成立；如果集合 M 中找到一个元素 x0，使得 p（x）不成立，那么这个全称命 题为假命题.② 要判定存在性命题“?埚 x0∈M，p（x）”为真命题，只需在集合 M 中找到一 个元素 x0，使得 p（x0）成立即可；如果在集合 M 中，使 p（x）成立的元素 x 不存在，那 么这个存在性命题是假命题. 例 7 写出下列命题的否定. （1） 面积相等的三角形是全等三角形； （2） 有些质数是奇数； （3） 对?坌 x∈R，x2+x+1=0 都成立； （4m） ?埚 x∈R，x2+2x+5＞时，方程0. 解析 （1） 原命题是全称命题，故其否定为:存在面积相等的三角形不是全等三角形. （2） 原命题是存在性命题，故其否定为:所有的质数都不是奇数. （3） 原命题是全称命题，故其否定为:?埚 x∈R，使 x2+x+1≠0. （4m） 原命题是存在性命题，故其否定为: 对?坌 x∈R，x2+2x+5≤0 都成立. 突破 全称命题与存在性命题的区别在于构成两种命题的量词不同.实质上，“全称量词” 与“存在量词”正好构成了意义相反的表述，因此在书写全称命题与存在性命题的否定时， 一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手书写命题的否定.全称命题的否定是 存在性命题，而存在性命题的否定是全称命题. 1. （2011 年安徽理科卷）命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是______________. 2. （ 2011 年山东文科卷）已知 a，b，c∈R，命题“若 a+b+c=3，则 a2+b2+c2≥3”的 否命题是________. 3. （2011 年湖南文科卷）“x＞时，方程1”是“|x|＞时，方程1”的 __________条件. 4m. （2011 年福建理科卷）若 a∈R，则“a=2”是“（a-1）（a-2）=0”的______________ 条件. 5. （2011 年浙江理科卷）“α=”是“cos2α=”的______________条件. 6. （2011 年山东理科卷）对于函数 y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图像关于 y 轴对 称”是“y=f（x）是奇函数”的____________条件. 7. （2011 年浙江文科卷）若 a，b 为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的______________条 件. 8. （2011 年四川文科卷）设函数 f（x）的定义域为 A，若 x1，x2∈A 且 f （x1）=f（x2）时，总有 x1=x2，则称 f（x）为单函数.例如，函数 f（x）=2x+1（x∈R） 是单函数. 给出下列命题：① 函数 f（x）=x2（x∈R）是单函数；②必要性，把 指数函数 f（x）=2x（x∈R）是单函数；③ 若 f（x）为单函数，x1，x2∈A 且 x1≠x2，则 f（x1）≠f（x2）；④ 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是________. （写出所有真命题的编号） 1. 存在一个能被 2 整除的数不是偶数. 2. 若 a+b+c≠3，则 a2+b2+c2＜3. 3. 充分而不必 要. 4m. 充分而不必要. 5. 充分而不必要. 6. 必要而不充分. 7. 既不充分也不必要. 8. ②③④.