方法支招：求解无棱二面角大小的三个对策

方法支招：求解无棱二面角大小的三个对策 求解无棱二面角的大小思维活、方法多，是高考的热点，同时也是难点问题之一，现 从一例高考题出发来系统疏理、归纳. 题目 （2011 高考全国卷第 16 题）已知如右图，点 E，F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 BB1，CC1 上，且 B1E=2EB，CF=2FC1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成二面 角的正切值等于____. 对策一 利用空间向量求解 解法 1 （利用空间基向量求解）由题意，=+，=+=++.设平面 AEF 的法向量为 n=x+y+z，由 n?=0，n?=0，得（x+y+z）?（+）=0，（x+y+z）?（++）=0，把相关量代入 化简，得 x+z=0，x+y+z=0.取 z=3，解得 x=y=-1，从而 n= --+3，不难求得|n|=.n|n|=.=. 又平面 ABC 的法向量为，故 n?=（--+3）?=3，所以 cos〈，n〉==，从而 sin〈，n〉==，tan〈，n〉=.故平面 AEF 与平面 ABC 所成二面角的正切值等于. 点评 面对丰富的几何条件，尤其是每个顶点处的向量都容易表示两两夹角及线段的长 度也容易求出，利用空间几何向量求解是最易操作的.虽然对于填空或选择题来说，这样也 许会费时费力、小题大做，可这是一种万全之策. 解法 2 （利用空间坐标系求解）分别以 DA，DC，DD1 为 x，y，z 轴的正半轴，建立 空间直角坐标 D-xyz，得 A（1，0，0），E1，1，，F0，1，，从而=0，1，，=-1，1，.设 平面 AEF 的法向量为 m=（x，y，z），由 m?=0，m?=0，得 y+z=0，-x+y+z=0.取 z=3，得 m=（-1，-1，3），故|n|=.m|n|=.=. 又平面 ABC 的法向量为=（0，0，1），所以由 cos〈，m〉==，可得 sin〈，m〉==，从而 tan〈，m〉=.故平面 AEF 与平面 ABC 所成二面角的正切值等于. 点评 用空间直角坐标系求解时，找（作）两两垂直的三线建立适当的空间直角坐标系 是关键. 对策二 利用公式 cosθ=求解，其中 S 是二面角的一个半平面中的一个封闭图形的面积， S′是 S 在另一个半平面上的射影的面积 解法 3 由正方体的性质，可知△AEF 在平面 ABCD 上的射影为△ABC.设正方体的棱长 为 1，在 Rt△ACF 中，AF===；在在 Rt△ABE 中，AE===.取线段 CF 的中点为点 M，则在 Rt△EMF 中，求得 EF=；在取线段 AF 的中点为点 N，则在 Rt△ANE 中，EN===. 由此得 S△AEF=AF?EN=××=，S△ABC=AB?BC=，得 cosθ==，sinθ==，从而 tanθ==.故平 面 AEF 与平面 ABC 所成二面角的正切值等于. 点评 利用面积射影法间接求二面角大小，可避免找二面角的棱及作二面角的平面角双 重麻烦，使求解过程更简便. 对策三 利用两个半平面垂线求解 解法 4 过点 C 作 CH⊥AF 垂足为点 H，取线段 AF 的中点为点 N，连结 NO，则 NO⊥OB，而 OB⊥平面 ACF，所以 NE⊥平面 ACF. 从而 CH⊥EN.又 CH⊥AF，所以 CH⊥平 面 AEF.又 CF⊥平面 ABCD，从而可得二面角的两个半平面的垂线 CH，CF 的夹角为∠FCH， 该角和平面 AEF 与平面 ABC 所成二面角的大小相等. 又∠FCH=∠FAC，所以在 Rt△FAC 中，tan∠FAC==.故平面 AEF 与平面 ABC 所成二面角 的正切值等于. 点评 二面角的两半平面的垂线所成角的大小与二面角的大小相等或互补，这就需要先 对二面角的大小作粗略的判断：当二面角的一个半平面上的任意一点在另一个半平面上的 射影在二面角的半平面上的，二面角为锐角；在当射影在棱上时，二面角为直角；在当射影在 反向延伸面上时，二面角为钝角. 对策四 找（作）二面角的棱，作出平面角求解 解法 5 （利用相交直线找棱）分别延长线段 CB，FE 交于点 P，并连结 AP，则 AP 为平 面 AEF 与平面 ABC 的交线.因为 B1E=2EB，CF=2FC1，所以 BECF，从而 CB=BP，DBAP.又 DB⊥AC，所以 AP⊥AC.又 CC1⊥平面 ABC，所以 AC1⊥AP，从而∠FAC 为平面 AEF 与平面 ABC 所成二面角的平面角. 在 Rt△FAC 中，AC=，CF=，则 tan∠FAC==. 点评 若二面角的两半平面同时与第三个平面相交，则这两条交线的交点在二面角的棱 上. 解法 6 （利用平行直线找棱）记 AC∩BD=O，取 AF 的中点为点 N，连结 NO，则 NOCF，BECF，所以 NOBE，所以 EN∥BD.又 EN?奂平面 AEF，设平面 AEF∩平面 ABC=l，过 点 A 作 AP∥EN，则 l∥BD，P∈l.以下同解法 5. 点评 当二面角的两半平面上有两条互相平行的直线时，由线面平行的性质可知，二面 角的棱与这组平行线平行. 解法 7 （利用平移平面找棱）分别取线段 AF，CF 的中点为点 N，M，连结 NE，EM，NM，则 NOCF，BECF，从而可得 NOBE，所以 EM∥BC，EN∥BD，所以平面 ENM∥平面 ABC，则平面 AEF 与平面 ABC 所成二面角和平面 AEF 与平面 ENM 所成二面角大 小相等. 由平面 ENM∥平面 ABC，CC1⊥平面 ABC，得 CC1⊥平面 ENM.又 NM⊥EN，NM⊥EN，所以 FN⊥EN，从而∠MNF 为平面 AEF 与平面 ECM 所成二面角的平 面角.在 Rt△NMF 中，NM=，MF=，则 tan∠MNF ==. 点评 如果两个二面角的两半平面分别平行，则这两个二面角大小相等或互补.