理解“充要条件”具体概念

理解“充要条件”具体概念 “充要条件”是数学中极其重要的一个概念。 （1）先看“充分条件和必要条件” 当命题“若 p 则 q””为真时，可表示为 p => q”，则我们称 p 为 q” 的充分条件，q” 是 p 的 必要条件。这里由 p => q”，得出 p 为 q” 的充分条件是容易理解的。 但为什么说 q” 是 p 的必要条件呢? 事实上，与“p => q””等价的逆否命题是“非 q” => 非 p”。它的意思是：若 q” 不成立， 则 p 一定不成立。这就是说，q” 对于 p 是必不可少的，因而是必要的。 （2）再看“充要条件” 若有 p =>q”，同时 q” => p,则 p 既是 q” 的充分条件，又是必要条件。简称为 p 是 q” 的充 要条件。记作 p<=>q” 回忆一下初中学过的“等价于”这一概念；如果从命题 A 成立可以推出命题 B 成立，反 过来，从命题 B 成立也可以推出命题 A 成立，那么称 A 等价于 B，记作 A<=>B。“充要条 件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。也就是说，如果命题 A 等价于命题 B，那 么我们说命题 A 成立的充要条件是命题 B 成立；同时有命题 B 成立的充要条件是命题 A 成 立。 （3）定义与充要条件 数学中，只有 A 是 B 的充要条件时，才用 A 去定义 B，因此每个定义中都包含一个充 要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为 平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。 显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条 件的语句来表示。 “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。“仅当”表示“必要”。 （4）一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定 理中的“结论”都可作为必要条件。