2019年MPAcc数学预热辅导：基础习题及答案(6)

　　1、已知f(xy)=f(x) f(y)且f’(1)=a,x≠0，求f’(x)=? (答案为a/x)

　　【思路1】原方程两边对Y进行求偏导

　　xf’(xy)=f’(y) 其中f’(xy)与f’(y)都是对y偏导数

　　xf’(x*1)=f’(1)=a 得 f’(x)=a/x

　　【思路2】当⊿x→0时，令x ⊿x=xz则z=(1 ⊿x/x)

　　由f’(x)=[f(x ⊿x )-f(x)]/ ⊿x

　　={f[x(1 ⊿x/x)]-f(x)}/⊿x

　　=[f(x) f(1 ⊿x/x)-f(x)]/⊿x

　　=f(1 ⊿x/x)/⊿x =f’(1)/x=a/x

　　2、已知函数f(x y,x-y)=x2-y2, 则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于? (a)2x-2y (b)x y

　　【思路1】设U=x y,v=x-y

　　f(u,v)=uv

　　f’x=f’u*u’x f’v*v’x=v*1 u*1=u v

　　f’y=f’u*u’y f’v*v’y=v-u

　　f’x f’y=u v v-u=2v=2(x-y)=2x-2y 选A

　　【思路2】由已知f(x y,x-y)=(x y)(x-y),

　　令u=x y, v=x-y, 则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b).

　　结论：b应该是对的，复合函数是相对与自变量而言的，自变量与字母形式无关，参见陈文灯的考研书。

　　3、已知方程7x2-(k 13)x k2-k-2=0的两个实根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k的取值范围是什么?答案为(-2，-1)U(3，4)

　　【思路】画图可得f(0)0,f(1)0，f(2)0代入计算即可

　　4、A,B是一次随机实验的两个事件，则

　　A. A-(B-A)=A-B B. A-(B-A)=A

　　【思路】b,利用定义可得

　　5、已知随机变量X的密度的函数是：f(x)=

　　其中m0，A为常数，则概率P{m0)的值一定是：____

　　A、与a无关，随着m的增大而增大

　　B、与m无关，随着a的增大而增大

　　C、与a无关，随着m的增大而减少

　　D、与m无关，随着a的增大而减少

　　【思路】P{m0)= dx=Ae-m=1 A=em ,P{m= =Ae-m [1-e-a]= 1-e-a a0 答案为B1、已知f(xy)=f(x) f(y)且f’(1)=a,x≠0，求f’(x)=? (答案为a/x)

　　【思路1】原方程两边对Y进行求偏导

　　xf’(xy)=f’(y) 其中f’(xy)与f’(y)都是对y偏导数

　　xf’(x*1)=f’(1)=a 得 f’(x)=a/x

　　【思路2】当⊿x→0时，令x ⊿x=xz则z=(1 ⊿x/x)

　　由f’(x)=[f(x ⊿x )-f(x)]/ ⊿x

　　={f[x(1 ⊿x/x)]-f(x)}/⊿x

　　=[f(x) f(1 ⊿x/x)-f(x)]/⊿x

　　=f(1 ⊿x/x)/⊿x =f’(1)/x=a/x

　　2、已知函数f(x y,x-y)=x2-y2, 则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于? (a)2x-2y (b)x y

　　【思路1】设U=x y,v=x-y

　　f(u,v)=uv

　　f’x=f’u*u’x f’v*v’x=v*1 u*1=u v

　　f’y=f’u*u’y f’v*v’y=v-u

　　f’x f’y=u v v-u=2v=2(x-y)=2x-2y 选A

　　【思路2】由已知f(x y,x-y)=(x y)(x-y),

　　令u=x y, v=x-y, 则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b).

　　结论：b应该是对的，复合函数是相对与自变量而言的，自变量与字母形式无关，参见陈文灯的考研书。

　　3、已知方程7x2-(k 13)x k2-k-2=0的两个实根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k的取值范围是什么?答案为(-2，-1)U(3，4)

　　【思路】画图可得f(0)0,f(1)0，f(2)0代入计算即可

　　4、A,B是一次随机实验的两个事件，则

　　A. A-(B-A)=A-B B. A-(B-A)=A

　　【思路】b,利用定义可得

　　5、已知随机变量X的密度的函数是：f(x)=

　　其中m0，A为常数，则概率P{m0)的值一定是：____

　　A、与a无关，随着m的增大而增大

　　B、与m无关，随着a的增大而增大

　　C、与a无关，随着m的增大而减少

　　D、与m无关，随着a的增大而减少

　　【思路】P{m0)= dx=Ae-m=1 A=em ,P{m= =Ae-m [1-e-a]= 1-e-a a0 答案为B。