MBA数学备考：立体几何专题复习（3）

　　二、空间向量与立体几何

　　对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把

　　立体几何问题转化为空间向量的运算问题.

　　空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，首先要从定义入手，抓住实质，准确记忆向量的计算公式，注意向量与线面关系、线面角、面面角的准确转化;其次要从向量的基本运算入手，养成良好的运算习惯，确保运算的准确性.

　　必备知识

　　直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法

　　设直线l，m的方向向量分别为a=(a1，b1，c1)，b=(a2，b2，c2).平面α、β的法向量分别为μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4

　　)(以下相同).

　　(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a3+b1b3+c1c3=0.

　　(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka3，b1=kb3，c1=kc3.

　　(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a3=λa4，b3=λb4，c3=λc4.

　　(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·v=0⇔a3a4+b3b4+c3c4=0.

　　空间角的计算

　　(1)两条异面直线所成角的求法

　　设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则

　　cosφ=|cosθ|=|a||b|(|a·b|)(其中φ为异面直线a，b所成的角).

　　(2)直线和平面所成角的求法

　　如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ=|cosθ|=|e||n|(|e·n|).

　　(3)二面角的求法

　　①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角.

　　②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.

　　如图所示，二面角αlβ，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉=θ，则二面有αlβ的大小为θ或πθ.