数列中常考的关于函数思想的题型

 摘 要： 数列是一种定义域，是正整数集或其子集的函数，其图像是对应函数的图像上的一些散点，研究数列的一些性质，可以利用函数的性质来研究.作者对数列的最值进行研究，函数的最值常用图像法、导数法、重要不等式等，以供大家参考。 
　　关键词： 数列 函数 最值 
　　一、利用常见函数图像及导数解决数列最值问题 
　　例1：已知数列{a }满足a =1，a -a =2n-2，则a =？摇 ？摇？摇？摇？摇. 
　　分析：递推关系式为a -a =f（n），求通项用累加法. 
　　解析：a -a =2×1-2？摇？摇a -a =2×2-2a -a =2×3-2，a -a =2×4-2，…，a -a =2n-2，将上式左右两边分别相加，得 
　　a -a =2（1+2+3+…+n）-2n，得a =n -n，所以a =n -3n+3该式对n=1也成立，所以a =n -3n+3. 
　　变式1：已知数列{a }满足a =1，a -a =2n-2，a 的最小值为？摇？摇 ？摇？摇？摇. 
　　分析：二次函数求最值常用配方法和图像法. 
　　解析：a =n -3n+3可看成二次函数f（x）=x -3x+3，其定义域为正整数集.因为f（x）=x -3x+3的对称轴x= ，在对称轴左右的正整数为n=1和n=2，计算f（1）=f（2）=1，所以a 的最小值为1. 
　　变式2：已知数列{a }满足a =1，a -a =2n-2， 的最小值为？摇？摇？摇 ？摇？摇. 
　　分析：f（x）=x+ （k>0）在区间（-∞，- ），（ ，+∞）上单调递增，在区间（0， ），（- ，0）上单调递减；f（x）=x+ （k>0，x>0）时，可利用均值不等式求最值，但要注意一"正"，二"定"，三"相等". 
　　解析： =n+ -3，可看成函数f（x）=x+ -3其定义域为正整数集，由f（x）=x+ -3在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增.在 左右两侧的正整数分别为n=1和n=2，计算f（1）=1，f（2）=1，所以 的最小值为1. 
　　变式3：已知数列{a }满足a =1，a -a =2n-2，na -3n的最大值为？摇？摇 ？摇？摇？摇. 
　　分析：数列的最高次数为3次时，可以看成三次函数，可用导数求最值. 
　　解析：na -3n=n -3n ，可看成函数f（x）=x -3x 其定义域为正整数集，f′（x）=3x -6x，由f′（x）=3x -6x>0，得0