理学论文：新课程背景下数学构造思想在教学实践中的透视

 近年来中学数学对能力与思想的培养和要求是高考的热点话题。能力是核心（包括运算能力、逻辑推理能力、分析和解决问题的能力、实践能力）；数学思想是重点（包括分类讨论思想、数形结合思想、构造思想、模型思想）。构造思想是数学解题中的一种重要方法，它是通过联想，将题设的主干和结论联系起来，构造一个恰当的数学模型，以达到简捷地解决数学问题的目的。（例如中学数学教材中，推导平面内两点间的距离公式，就是构造直角三角形，用勾股定理来解决问题，推导球的体积公式先构造若干圆柱再求体积等等）。下面谈谈构造思想解决问题的思维及方法。

　　一、构造集合

　　例1、已知x2+y2+2x< 0， 求证：x2+y2+6x+8>0

　　分析：已知和结论都是二元二次不等式，适合它们的点（x，y）在平面内能用一个区域表示。

　　证明：构造集合A={（x，y）| x2+y2+2x< 0}={（x，y）|（x+1）2+y2< 1}， B={（x，y）| x2+y2+6x+8>0}={（x，y）|（x+3）2+y2>1}.集合A是以（-1，0）为圆心，1 为半径的圆的内部（不包括边界），集合B是以（-3，0）为圆心1为半径圆的内部（不包括边界），显然A B，又因（x，y） A B，因此x2+y2+6x+8>0成立

　　二、构造函数

　　例2、证明 是整数。

　　分析：分子中两个幂底数的第二项与分母都相同，联想到函数值的求法。

　　证明：构造函数f（x）=（1+x）2014 - （1-x）2014，因f（-x） = -f（x）， 故f（x）是一个只含有 x 奇次项且不含常数项的整函数多项式函数，因此 是一个只含有偶次项的整系数多项式函数。

　　又因为x= 的偶次方是整数，故原式是整数。

　　例3、若xy>0，xy=x+y，求x+y的最小值。

　　分析：从已知可用均值不等式，即xy=x+y或均可求解，但构造二次函数或三角函数问题也可解决。

　　解法一：则令即最小值为4。

　　解法二：则令又方程有实数根的充要条件是，舍即最小值为4

　　三、构造三角形

　　例4、求sin6°sin42°sin66°sin78°的值

　　分析：设角组成的集合为A={6°， 42°， 66°， 78°}，它们是有这样的性质，对任意角α A，有90°-2α A或2α- 90° A.再联想诱导公式和二倍角公式.

　　解：构造三角函数式Q=cos6°cos42°cos66°cos78°

　　令P=sin6°sin42°sin66°sin78°：则PQ= sin12°sin84°sin132°sin156°= Q

　　则P=sin6°sin42°sin66°sin78°=

　　四、构造方程

　　例4、已知x，y，z是实数且满足 求证： 1≤x≤9

　　分析：观察已知条件，可知yz和y+z都能用含x的代数式来表示，构造一个以实数y，z为根，含有字母x的代数式为系数的一元二次方程。利用实数条件即可。

　　证明：由①得yz=x2-8x+7…③，由②得（y+z）2=yz+6x-6=x2-2x+1=（x-1）2故y+z=±（x-1） …④， 构造方程u2 （x-1）u+ （x2-8x+7）=0 …⑤，因y，z是实数，故⑤有实根，

　　所以△=（x-1）2 - 4（x2-8x+7）≥0，即1≤x≤9

　　五、构造数列

　　例5已知数列{an}和{bn}，其中a1=p，b1=q，并且有an=p an-1，bn=q an-1 +rbn-1（q≠0，p，q，r是已知常数p>r>0），求{bn}通项公式，

　　分析：{an}是一个等比数列，从而{bn}是一个递推数列，构造递推数列为等比数列，即可求解。

　　解：由a1=p， an=p an-1，得an=pn则bn= r bn-1 + q pn-1.①bn-1= r bn-2 + q pn-2②，

　　由①-p②得bn-p bn-1= r（bn-1-p bn-2），构造数列{ bn-p ，bn-1}它是一个公比为r的等比数列，

　　故bn - p bn-1=（b2-pb1）rn-2. 又因为b1=q ， b2= p q+q r 所以b2 -p b1= q r. bn-p bn-1=q rn-1…③

　　由①得bn-1= ，将它代入③整理可得bn=

　　六、构造图形

　　例6已知y= ，求y的值域

　　分析：利用坐标系构造过定点M（2，2）和动点P（cosx，sinx）的直线斜率范围为所求值域。

　　解：设定点M（2，2）和动点P（cosx，sinx）。P在单位圆上，MP表示过M与圆相交的直线y =k（x-2）+2，代入单位圆方程x2+y2=1中可得关于x 的一元二次方程（1+k2）x2+2k（2-2k）x+（4k2-8k+3）=0有解的充要条件是△=[2k（2-2k）]2 - 4（1+k2） （4k2-8k+3）≥0，化简3k2-8k+3≤0，解得 ≤k≤ ，∴函数y的值域为[ ， ].

　　七、构造线性规划

　　例7、已知-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的范围。

　　分析：构造以a，b为变量的线性方程及可行域，再取最值范围。

　　解：设 由线性可行域知，当 时

　　z最大，zmax=1+3×0=1

　　当 即 时z最小，zmin= ：故有

　　八、构造几何体

　　例8、若锐角α、β、γ满足cos2α+ cos2β+ cos2γ=1，证明：tanαtanβtanγ≥ .

　　分析：由已知条件cos2α+ cos2β+ cos2γ=1（α、β、γ为锐角），联想到长方体的对角线与过同一顶点的三条棱所成的角的余弦也有此关系。

　　证明：构造一个长方体，使对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别是α、β、γ，记三条棱长分别为正实数a、b、c，则

　　九、构造椭圆

　　例9、已知 ，求证α+β= .

　　分析：构造椭圆上两点A，B，使A，B是椭圆切线，即A，B重合，可证。

　　证明：设A（cos2α，sin2α），B（sin 2β， cos 2β）点都是椭圆

　　上，过点B的切线方程x+y=1，而点A又在此切线上，由切点惟一性知，点A与点B重合得cos2α=sin 2β且sin2α= cos 2β，

　　因此cosα=sinβ=cos（ -β）。

　　又因为α， -β ，即α= -β，亦即α+β= 。

　　十、构造向量

　　例10过△ABC的重心G作直线与线段AB、AC交于P、Q，设

　　，求 的值

　　分析：构造向量三角形，求出有关向量，利用向量共线性质可得。

　　解：设 ，G为△ABC的重心，D为BC边的中点，

　　∴

　　又

　　∴