【理学论文】GPS网的精度和可靠性

 2 GPS网的精度和可靠性

2.1 GPS网平差的数学模型

大地测量控制网的优化设计是通过调整观测点的位置及观测方案来达到使目标函数最优的目的，为此，首先要建立起观测量、未知参数、观测量的权以及未知参数的方差、协方差矩阵之间的函数关系。

GPS接收机的初始观测量是瞬时载波相位差.而未知参数包括卫星坐标的改正量、地面点的坐标以及一些系统误差参数 (卫星钟差、接收机钟差、电离层、对流层的折射延迟以及整周模糊度等)，作为第一步，首先要解出基线向量，文献[2〕对GPS基线向量的解算已有详细叙述，本文不再述及。而以基线向量作为观测值的网平差的数学模型和随机模型正是本文所关心的。

"基线选择法"是GPS控制网平差最常用的方法，它通过选择独立基线来组成平差网形，分为两个过程，首先解算出同一时段的基线向量，然后从基线向量中选取独立的基线向量进行网平差。在网平差阶段，将地面点在的三维坐标当成待求的未知参数，从而得到以下的Gauss-Markov模型:

这里A是由0，1组成的图形矩阵，X是待定点的近似坐标改正数向量，而△r则由下式给出 :

获得 (3-1-1)式基线向量方差的方式有两种，第一种方法是采用基线向量解算时计算出的方差和协方差阵作为验前协方差阵，第二种方法是在基线向量的经验公式。 的基础上采用验后最小范数二次无偏估计(MINQUE估计)得到，其中常数a、b分别为接收机的固定误差和比例误差系数，s为基线长度。

在GPS网的优化设计中，由于没有实际观测值，采用以下的经验公式作为基线向量各分量的近似精度:

若某 GPS网有 n条基线，并不考虑同一基线各坐标分量之间的相关性，则所有基线分量的方差、协方差阵可表示为:

其中diag 是一个由n个 的单位矩阵所组成的对角阵。

2.2 误差的传递与转换

GPS网精度估算是指在选定的基准条件下，通过误差传播律来近似计算待定点的方差和协方差、各点之间的相对中误差、或边长、方位角误差等。若以 表示GPS网中所有点的协方差阵，由于其它量 (如边长、方位角等)均为坐标未知数的函数，因此也可以用误差传播律来求坐标未知数函数的协方差( ),因此GPS网的精度评定主要是计算 精度估算与网平差的区别在于:精度估算中作为观侧值的基线向量是一个未知量，其先验的协方差未知，而在网平差中，基线向量的协方差阵己在基线解算中获得，其次，网平差中常数项可以准确地计算出，而在设计阶段，其值未知。在精度估算中，基线向量各分量的先验精度采用 ((3-1-4)式的计算方法获得，在网形设计阶段，我们最关心的是在独立坐标系下的精度，因此误差要经过以下一系列的计算和传播过程。

1 GPS网的三维平差

设任意两点i, j的GPS基线向量观测值为( ),它门是WGS-84坐标系中的空间直角坐标差，又设待定点在 WGS-84坐标系中的空间直角坐标为未知参数并记为:

其中，( )为坐标近似值，( )为坐标平差值，( , , )为坐标改正数，容易得出GPS基线向量观测值( )与未知参数存在以下关系:

式中，( )表示为( )的改正值，从而写成误差方程的形式:

设某GPS网中共有m个点，观测了n条基线，则上式写成矩阵的形式为:

V: 3n 1阶矩阵，表示基线向量的改正数

A: 3n 3m阶矩阵，称为系数矩阵或图形矩阵，与网形有关

:3m 1阶矩阵，坐标未知数的改正数:

L:常数项向量。

(2-2-4)式是不包含基准条件的误差方程，其系数矩阵是秩亏的，无法求解，对于三维控制网而言，本应包含三个位置基准，一个尺度基准，三个方位基准，在网平差时可以通过以下约束条件来获得网的基准:

(1)固定约束 (即固定点的坐标值):

(2)条件约束 (即通过使某些未知参数之间满足给定的条件);

(3)权值约束 〔通过给某些观测量或未知量分配很大或很小的权)。

对于GPS网，作为观测值的GPS基线向量包含了尺度和方位信息，因此，在 WGS-84坐标系中平差时，可以取 GPS基线向量提供的尺度基准和方位基准，在此，我们取 b点的单点定位的三维坐标作为固定值，从而可以写出基准方程:

写成矩阵形式为:

(2-2-4), (2-2-6)式联立，即为附加基准条件的GM模型，在最小二乘准则下求解得:

(2-2-7)

(2-2-8)

需要说明的是，在城市或大型工程控制网中，经常采用分级布网的方案，对于分级布设的GPS网，首级网一般采用只固定一个位置基准的无约束条件的三维平差，而次级网是在固定多个首级网点的情况下的有约束条件的三维平差，很明显，次级网的误差也包含首级网的误差，在次级网点的精度评定时，一定要考虑首级网的误差，具体的估算方法将在以后的章节中详细述及。

2 GPS 网空间直角坐标的协方差阵转换成大地坐标协方差阵

GPS网在空间直角坐标系下进行三维平差之后，需要在椭球下(WGS-84椭球、国家椭球或地方区域椭球) 将空间直角坐标( X Y Z ) 转换成大地坐标 ( B L H)，有以下熟知的公式:

（2-2-9）

其中 为椭球的第一偏心率，N为卯酉面的曲率半径， 对 上式微分，得出大地坐标与空间直角坐标的微分关系:

3 GPS 网大地坐标协方差阵转换为高斯坐标协方差阵:

GPS的大地坐标要变换成平面坐标，要通过高斯投影来得到，而高斯投影要先选择中央子午线，中央子午线可以按国家坐标系的 3度、6度带来选择，也可以选择任意的中央子午线，如在城市独立坐标系中，一般选择过城市中心区域的经线做为中央子午线。通过高斯投影的正算可以得到各网点的高斯坐标及其协方差阵。其协方差计算可以采用如下:

其中: M , N分别为子午面和卯酉面的曲率半径，经差 ( 为 中 央子午线经度),按误差传播公式，存在下式:

2.3 相对点位精度的合理评定

普通的( 绝对)点位精度是指控制点相对于一组起算数据(包括起算点的坐标、起算方位角和起算边长)的精度，而传统的相对点位精度评定方法是利用坐标差来确定两点之间的相对点位精度:

(2-3-1)

这种相对点位精度的评定方法与绝对点位精度相比较，仅仅是改变了起算点的位置，而没有改变起算方位角和起算边长的位置，因而理论上是不严密的训，不能合理地评定两点之间的相对精度，而在实际工作中，有时需要根据不同位置的起算数据来分析控制网的精度。例如在工程控制网中，为确定离起算数据较远的控制点是否满足精度要求，有时并不要求这些点相对于原起算数据有很高的精度，而只要求它们相对于邻近某个点、某个方位和边长的相对精度。