数学：数列专题复习习题及答案：三、解答题

13.(2014•北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn-an}为等比数列.

　　(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

　　(2)求数列{bn}的前n项和.

　　解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得

　　d=a4-a13=12-33=3，

　　所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2，…).

　　设等比数列{bn-an}的公比为q，由题意得

　　q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8，解得q=2.

　　所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.

　　从而bn=3n+2n-1(n=1,2，…).

　　(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2，…).

　　数列{3n}的前n项和为32n(n+1)，数列{2n-1}的前n项和为1-2n1-2=2n-1.

　　所以，数列{bn}的前n项和为32n(n+1)+2n-1.

　　14.(2013•浙江卷)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1,2a2+2,5a3成等比数列.

　　(1)求d，an;

　　(2)若d<0，求|a1|+|a2|+…+|an|.

　　解　(1)由题意得5a3•a1=(2a2+2)2，即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.

　　所以an=-n+11，n∈N*或an=4n+6，n∈N*.

　　(2)设数列{an}的前n项和为Sn.

　　因为d<0，由(1)得d=-1，an=-n+11.

　　当n≤11时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|

　　=Sn=-12n2+212n.

　　当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|

　　=-Sn+2S11=12n2-212n+110.

　　综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|

　　=-12n2+212n，n≤11，12n2-212n+110，n≥12.

　　15.(2014•杭州模拟)已知数列{an}是首项为133，公比为133的等比数列，设bn+15log3an=t，常数t∈N*.

　　(1)求证：{bn}为等差数列;

　　(2)设数列{cn}满足cn=anbn，是否存在正整数k，使ck，ck+1，ck+2按某种次序排列后成等比数列?若存在，求k，t的值;若不存在，请说明理由.

　　(1)证明　an=3-n3，bn+1-bn=-15log3an+1an=5，

　　∴{bn}是首项为b1=t+5，公差为5的等差数列.

　　(2)解　cn=(5n+t) •3-n3，

　　则ck=(5k+t)•3-k3，

　　令5k+t=x(x>0)，则ck=x•3-k3，ck+1=(x+5)•3-k+13，ck+2=(x+10)•3-k+23.

　　①若c2k=ck+1ck+2，则

　　x•3-k32=(x+5)•3-k+13•(x+10)•3-k+23.

　　化简得2x2-15x-50=0，解得x=10，x=-52(舍去);

　　进而求得k=1，t=5;

　　②若c2k+1=ckck+2，

　　同理可得(x+5)2=x(x+10)，

　　显然无解;

　　③若c2k+2=ckck+1，同理可得13(x+10)2=x(x+5)，

　　方程无整数根.

　　综上所述，存在k=1，t=5适合题意.