数量关系解题技巧：利用质数性质快速求解数量关系题目

 

　　(一)质数的概念

 

　　质数：一个大于1的自然数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。

 

　　如：2、3、5、7都是质数，质数有无限多个，最小的质数是2。

 

　　合数：一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

 

　　如：4、6、15、49都是合数，合数也有无限多个，最小的合数是4。

 

　　注意：2是唯一的偶质数，1既不是质数也不是合数。

 

　　(二)质数的判定方法

 

　　1、判断数A是不是质数，找到比A略大的最小平方数;

 

　　2、将小于这个平方数的平方根的全部质数找出来;

 

　　3、如果A能被上面第2步中的至少一个质数整除，A为合数;

 

　　如果A不能被上面第二步中的全部质数整除，A为质数。

 

　　(三)分解质因数

 

　　1、定义：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，把一个合数分解成若干个质因数乘积的形式，叫做分解质因数。

 

　　2、方法：短除法。

 

　　3、分解质因数法求正约数个数的方法：质因数指数加1后相乘。

 

　　接下来我们共同利用质数的概念以及性质来进一步加深了解：

 

　　【例1】：有7个不同的质数，它们的和是58，其中最小的质数是多少?

 

　　A.2 B.3 C.5 D.7

 

　　【答案】：A

 

　　【解析】：根据数字的奇偶性质：如果7个质数都为奇数，它们的和应为奇数，但由题目可知，它们的和为58，是偶数：可得质数中必有一个为偶数;因2是唯一一个为偶数的质数，因此这7个质数中必有2，而2是最小的质数;所以，选A。

 

　　【例2】：有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?

 

　　A.354 B.364 C.374 D.384

 

　　【答案】：C

 

　　【解析】：据题意，正面和上面的面积和为ac+ab=209，ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19。

 

　　当a=11时，c+b=19，两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17;

 

　　当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，舍去。

 

　　故所求体积2×17×11=374。

 

　　【例3】：某校师生为贫困地区捐款1995元。这个学校共有35名教师，14个教学班。各班学生人数相同且多于30人不超过45人。如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?

 

　　A.3 B.6 C.9 D.12

 

　　【答案】：A。

 

　　【解析】：解析：这个学校最少有35+14×31=469名师生，最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995。1995=3×5×133，在469～665之间的约数只有5×133=665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995÷665=3元。

 

　　【例4】：甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪，三人各自中靶的环数之积都是60，按个人中靶的总环数由高到低排，依次是甲、乙、丙。靶子上4环的那一枪是谁打的?(每人的环数都是大于1且不超过10的自然数)

 

　　A.甲B.乙C.丙D.无法判断

 

　　【答案】C。

 

　　【解析】：三人三枪中靶环数之积均为60，即每人每枪中靶环数均为60的约数。将60分解质因数为60=22×3×5，又因为每枪环数都大于1且不超过10，所以将60写成三个大于1且不超过10的自然数的乘积有且只有以下三种情况：60=3×4×5，60=2×6×5，60=2×3×10。其中总环数分别为12，13，15，出现4环的情形总环数最少，所以4环是丙打的。

 

　　从上述例题可以看出，质数的性质在其中起到了很关键的作用，所以我们要对质数的基本性质有所了解，尤其是对于2这种特殊的质数一定要引起格外的重视。相信质数的性质在求解数量关系问题中会对广大考生有所帮助。