数量关系之同余与剩余

1.余数

在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。

被除数(a)÷除数(b)=商(c)…余数(d)，其中a、c均为整数，b、d为自然数。

其中，余数总是小于除数，即0≤d〈b。

2.同余

同余：两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a、b对于m同余。

举例说明：23除以5的余数是3，18除以5的余数也是3，则称23与18对于5同余。

同余的性质：对于同一个除数m，两个数和的余数与余数的和同余，两个数差的余数与余数的差同余，两个数积的余数与余数的积同余。

举例说明：15除以7余数是1，18除以7余数是4。

15+18=33，则33除以7的余数与1+4=5除以7的余数相同。

18-15=3，则3除以7的余数与4-1=3除以7的余数相同。

15×18=270，则270除以7的余数与1x4=4除以7的余数相同。

3.剩余问题

剩余问题主要有以下三种情况：

(1)一个数除以4余2、除以5余2、除以6余2，这个数可表示为什么？

(2)一个数除以4余3、除以5余2、除以6余1，这个数可表示为什么？

(3)一个数除以4余1、除以5余2、除以6余3，这个数可表示为什么？

对于上述三种问题，解题思路是先找出一个满足条件的数，再加上几个除数的最小公倍数的1、2、3、…、n倍，即为所求。

(1)中，余数相同，2满足条件，加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为(60n+2)。

(2)中，4+3=5+2=6+1=7，余数与除数之和相同，即和同。7满足条件，加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为(60n+7)。

(3)中，1-4=2-5=3-6=-3，余数与除数之差相同，即差同。-3满足条件，在此基础上加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为(60n-3)。

所以有余同加余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。