数量关系：数量关系之不定方程解法

方程往往是数量关系解题中最基本的方法，常考的为一般方程和不定方程，对于一般方程的解法在我们之前的学习中都是比较了解的了，在这里不作过多说明，而不定方程因其解往往有很多组而导致考生在做题时无法下手，这里主要就对不定方程解法进行讲解。

一、不定方程含义

未知数的个数多于独立方程个数的方程。

二、不定方程的解法

(一)整除：利用不定方程中各数除以同一个除数所得余数的关系来求解。

2x+3y=15的自然数解。15除以3余0，3y除以3余0，2x=15-3y，那么2x也应是除以3余0，故x只能取3的倍数的数了，如：0、3、6、9等等。

例1：小张的孩子出生的月份2乘以29，出生的日期乘以24，所得的两个乘积加起来刚好等于900。问孩子出生在哪一个季度?

A. 第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度

【答案】D

【解析】根据题目所给信息，可设孩子出生月份为x，出生日期为y，可得：29x+24y=900，其中900除以12余0，即能被12整除，24也能被12整除，所以29x一定能被12整除，所以x一定能被12整除，x为月份数，能被12整除的月份只有12月份，故为第四季度，选D。

(二)奇偶性

2x+3y=15的自然数解。15为奇数，2x为偶数，则3y为奇数，y只能为奇数，如：1、3、5等等。

例2：办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。每个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。要使每个文件袋都恰好装满，需要红、蓝色文件袋的数量分别为()个。

A.1、6 B.2、4 C.4、1 D.3、2

【答案】D

【解析】由题可设红色文件袋x个，蓝色文件袋为y个，可列方程：7x+4y=29，29为奇数，4y为偶数，所以7x为奇数，故x一定为奇数，可排除B、C两个选项，代入A选项，当x=1时，y≠整数，由题可知，文件袋数一定为整数，不符合题意，排除A，可直接选D。验证D项，当x=3时，y=2，符合题意，选D。

(三)尾数法(看到一些以0或5结尾的数，想到尾数法)

3x+10y=50的自然数解。50的尾数为0，10y尾数为0，故3x尾数一定为0，x可能取值为：0、10、20等等。

4x+5y=49，已知x、y均为正整数，则x可能为()。

A.8 B.9 C.10 D.11

【答案】D

【解析】49为奇数，4x为偶数，故5y为奇数，故5y的尾数一定为5，49尾数为9，故4x的尾数为4，代入选项只有D项符合题意，选D。

(四)特值法

根据题意能列出三元一次方程组，而此时两个方程三个未知数，意味着这个方程组有无穷组解。而题目并没让我们求多少组解，而是求未知数之和。也就是说虽然此题有无穷组解，但每组解的未知数之和是确定的。所以此时我们只需求出无穷组解中的某一组求和就能得到答案。

现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元;若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需()元。

A.50 B.100 C.150 D.200

【答案】B

【解析】设购买甲x件、乙y件、丙z件，由题意可得x+3y+7z=200、2x+5y+11z=350，三个未知数，两个方程，解有无数组，题干要求x+y+z的值，且为选择题，即和为固定的，故可给x、y、z中任一个数进行赋值，可令z=0，故可得x+3y=200,2x+5y=350,解得：x=50，y=50，故x+y+z=0+50+50=100。选B。

掌握以上四种方法对不定方程的求解有很大的助力，我们可以快速锁定解的特征(能被某个数整除、奇偶性、尾数特征等等)，但由于不定方程其解不唯一，我们还需要结合选项代入排除方可快速选出正确答案。