名师案例 华应龙：商不变的规律

  [教学内容]

 人教版九年义务教育六年制小学数学第七册P84。

 [教学目标]

 1、使学生理解和掌握商不变的规律，并能运用这一规律口算有关除法。

 2、培养学生观察、概括以及发现规律、探索新知的能力。

 [教学具准备]

 多媒体课件一套，每生一只计算器。

 [教学过程]

 一、始动阶段，设疑激趣

 以卡片先出示右三题，指名口算；再出左三题，同桌两人比赛，左边的用计算器算，右边的用口算。

 （36×2）÷（12×2）＝　　　　（36÷2）÷（12÷2）＝

 （36×4）÷（12×4）＝　　　　（36÷3）÷（12÷3）＝

 （36×8）÷（12×8）＝　　　　（36÷12）÷（12÷12）＝

 教师用黄色粉笔写出商后，问比赛的胜负如何？

 师：好多用计算器算的同学赢了！哎哟，用口算的小嘴翘起来了。这个比赛不公平，是吧？那交换一下，再赛一道题怎样？教师板书：（36×100…0）÷（12×100…0）＝

   10个　　　　　10个

 学生皆面有难色。稍后——

 生1：等于2。

 生2：等于3。

 师：请你说说这一题为什么等于3呢？

 生2：36÷12＝3。

 师：他的知识面真宽！（在两组口答题上方板书：36÷12＝3）那么这一题究竟等于多少呢？是不是与36÷12有联系？（用红粉笔在“（36×100…0）÷（12×100…0）＝”之后板书：？）这节课我们就一起来研究这个问题。

 二、新授阶段，观察概括

 师：现在我们回过头来看这两组题。你发现这两组题的商有什么特点？

 生：都等于3。

 师：对！这两组题的商与36÷12的商一样，都是3，没有发生变化。下面我们进行一项公平的比赛，请同桌左边同学观察与思考左边一组题，右边同学观察思考右边一组题，（用绿色粉笔板书：）看谁抢先回答出这个问题：（出示）这些题与36÷12＝3比，被除数36和除数12怎样变化，商才不变的呢？

 在有学生举手欲回答“观察与思考”时——

 师：请同桌两位同学交流一下各人的发现。

 同桌交流后集中发言。

 师：观察左边一组题，你发现了什么？

 生1：通过观察，我发现被除数、除数都乘以相同的数，商不变。

 师：请用上“扩大”这个词，把你发现的规律再说一下。

 生1：通过观察，我发现被除数、除数都扩大相同的倍数，商不变。

 师：观察右边的一组题呢？

 生：通过观察，我发现被除数和除数都缩小相同的倍数，商不变。

 师：哪位同学能把这两种情况用一句话概括出来？

 生：在除法中，被除数和除数都扩大或缩小相同的倍数，商不变。

 师：说得真好！谁能再说一说。

 生：在除法中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。

 用小黑板出示“商不变的规律“，组织学生齐读一遍。

 师：同学们发现的这个规律是否具有普遍性呢？请你们接下来再举几个例子（手指两组口答题），看被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商变不变？

 生：（36×3）÷（12×3）＝108÷36＝3

 师：［板书：（36×3）÷（12×3）＝3］他举了个被除数、除数同时扩大3倍，商不变的例子。谁能举个被除数、除数同时缩小的例子？

 生：（36÷9）÷（12÷9）＝4÷……

 师：12÷9等于多少？

 生齐：12÷9等于1余3。

 师：噢，有余数。这个例子究竟怎么算呢？同学们暂时还不会，哪位能重举个例子？

 生：（36÷4）÷（12÷4）＝9÷3＝3

 师：他举了个被除数、除数同时缩小4倍的例子，商还是不变。

 刚才，同学们通过观察、思考、讨论、验证，证实了：在除法中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。谁能给我们发现的规律取个名字？这个规律人们通常叫“商不变的规律”。（板书：商不变的规律） 
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 出示：

 （36×2）÷（12÷2）＝

 （36×5）÷（12×3）＝

 （36÷6）÷（12÷2）＝

 （36＋12）÷（12＋12）＝

 师：这几题的商也都是3吗？

 多数学生肯定，少数学生否定，双方争执不下。

 师：现在同学们有两种意见，争执不下，大家商量一下：怎么办呢？

 不少学生认为：“算，算！”

 师：好，那我们按照运算顺序算一下，看究竟等于多少？能口算的就口算，不能口算的用计算器算。

 学生回答后，教师板书得数。刚算出第一题答案是12，少数派学生就欢呼起来。

 师：与36÷12＝3比，这几题的商为什么变了呢？请前后桌四人一组讨论讨论。

 学生讨论之后，推举代表发言。

 生1：我看第一题，因为被除数和除数不是同时扩大或缩小，尽管倍数相同，所以商还是变化了。

 生2：第二题和第三题，虽然被除数和除数同时扩大或同时缩小，由于倍数不相同，所以商发生了变化。

 生3：第四题，被除数和除数不是同时扩大，而是同时增加相同的数，所以商也变了。

 师：三个小组代表的回答太棒了！看来，对商不变的规律我们要全面地理解哦。只有当被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商才不变。

 那现在你看看“商不变的规律”，你认为哪几个词特别重要？

 学生说出“同时”、“相同”、“商”三个词，教师用红笔加圈后，请学生再自由地读一遍。

 师：请同学们阅读课本第84页，同桌两人交流交流怎样回答课文中的五个问题。

 学生看书、填表、交流。

 师：同学们有什么问题要提吗？

 生齐：没有。

 师：那你知道学习商不变的规律有什么用吗？

 生：可以运用商不变的规律，来做整十、整百数的除法口算。

 当教师问：“你会了吗？”绝大部分学生响亮地回答：“会！”少数学生有些迟疑。

 师：谁会举几个例子，教教几个还没有完全会的同学？

 生1：500÷100＝500÷100＝5。（教师随之板书。）

 生2：600÷200＝600÷200＝3。（教师随之板书。）

 三、调节阶段，放松愉悦

 师：刚才同学们的表现好极了！现在我们来轻松一下，听个故事。（播放配乐故事，出示相应画面）

 “故事的名字叫‘猴王分桃子’。

 “花果山风景秀丽，鸟语花香。桃树上挂满了桃子，桃树下坐着一群猴子，它们在等猴王来分桃子。猴王准时来到。猴王说：‘给你6个桃子，平均分给3只小猴吧。’小猴子听了，连连摇头：‘太少了，太少了！’猴王就说：‘那好吧，给你60个桃子，平均分给30只小猴，怎么样？’小猴子得寸进尺，挠挠头皮，试探地说：‘大王，请您开开恩，再多给点行不行啊？’猴王一拍胸脯，显示出慷慨大度的样子：‘那好吧，给你600个桃，平均分给300个小猴，你总该满意了吧？！’这时，小猴子笑了，猴王也笑了。

 “同学们，谁的笑是聪明的一笑，为什么？”

 教师相机板书：　6　　　　3

 　　　　　　　 60　　　 30

 　　　　　　　 600　　　300 
 生1：小猴子的笑是聪明的一笑，因为越来越多的小猴子分到桃子了。

 师：想得有道理！

 生1：猴王的笑是一聪明的一笑。因为猴王利用商不变的规律把小猴子给骗了，每只小猴子还是分的2个桃子。

 师：对！数学变了，但桃子个数与小猴只数之间的倍数关系没有变。我们可不能被表面现象所迷惑，要透过现象看本质。

 四、反馈阶段，深化认知

 （1）800÷25＝（800×4）÷（25×4）　　　　　　（　　）

 （2）48÷24＝（48÷4）÷（24÷2）　　　　　　　（　　）

 （3）32800÷400＝328÷4　　　　　　　　　　　（　　）

 （4）30×4＝（30÷2）×（4÷2）　　　　　　　　（　　）

 要求学生认为对的话，则举手；错的话，则举拳。第（1）、（4）题要说明理由。

 师：第（1）题为什么说是错的呢？

 生：800×4＝3200，25×4＝100，3200÷100＝32，而800÷25＝……

 有几个学生在座位上帮忙：“800÷25也等于32。”

 师：那这道题对不对？

 生齐：对！

 师：可为什么有同学那么快就能很快判断它是对的，他有没有计算呢？

 生：根据商不变的规律，被除数和除数同时扩大4倍，商不变，所以这道题是对的。

 师：真会动脑子！一学就会用了！

 第（4）题大多数学生很快判断出是对的，少数学生判断出是错的。

 师：哦，有判对的，也有判错的。请不同意见的双方各出一名代表，到前面辩论。

 正方：请说说商不变的规律。

 反方：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。

 正方：这道题中是同时缩小的吗？

 反方：是同时缩小。

 正方：再请看看缩小的倍数相同吗？

 反方：缩小的倍数相同。

 正方：那么这道题符合商不变的规律吗？

 反方：不符合。

 正方：为什么？

 反方：这道题中的30和4是被除数和除数吗？

 正方：……嗯！

 反方：请你再说说商不变的规律。

 正方：（略）

 反方：请把前4个字再说一遍。

 正方：在除法里。

 反方：这道题可是在乘法里啊！

 正方：噢！可是……这是“积不变的规律”……

 反方：积不变的规律？那我们一起算一算：30×4＝120，30÷2＝15，4÷2＝2，15×2＝30，120＝30？

 学生们笑出声来：“120怎么等于30？”

 正方：我们只看到“同时缩小”和“相同的倍数”，忽视了“在除法里”这个前提条件，错了。

 学生们和教师都热烈鼓掌。

 师：谁能再说一说这道题为什么错？

 生：它错误地把商不变的规律运用到乘法算式中了。

 师：一针见血！刚才判断出这道题是错的同学请笑一笑。希望以后笑的人能更多一些啊！

 出示课本第85页上一个“做一做”，让学生在课本上完成。

 逐条出示口算题：

 2800÷400　　　　　　3000÷50

 7200÷800　　　　　　4500÷900

 4000÷200　　　　　　96000÷6000

 4000÷200、96000÷6000两题请学生说说想法。强调被除数、除数末尾要划去同样多个“0”。

 师：想一想，现在再出类似的题比赛，一个用计算器算，一个用口算，谁会赢？那现在我们换个形式再赛一场，一场公平的比赛，怎样？

 出示竞赛题：

 在□中填数，在空白中填运算符号：

 200÷40＝5

 （200×4）÷（40×□）＝5　　　　　　（200÷2）÷（40÷□）＝5

 
 （200×3）÷（40　□）＝5　　　　　 （200÷4）÷（40　□）＝5

 
 （200×□）÷（40　□）＝5　　　　　（200÷□）÷（40　□）＝5

 
 师：□里可以填“0”吗？为什么？

 
 师：今天这节课学习了什么？谁能不看黑板说一说商不变的规律。同学们在被除数和除数的变化中，看到了商不变的规律。如果能经常这样观察思考问题，同学们就会越来越聪明。还有什么问题吗？

 现在我们来看（36×100…0）÷（12×100…0）等于多少呢？

 
 生：等于3。　　　　10个　　　　　　10个

 师：同意等于3的请举手。（全班皆举手。）哪位能说一说为什么等于3？

 生：36和12同时缩小了相同的倍数，其实这道题就可以算36÷12，所以等于3。

 师：课的开始大部分同学不会解答这道题，通过同学们的努力发现了商不变的规律，现在运用这个规律就可以口算这道用计算器都算不出的题啦！

 课后有兴趣的同学请思考：（在“竞赛题”下方出示）

 （200＋200）÷（40　□）＝5