名师案例 潘小明：“质数与合数”教学实录

   师：(电脑出示三个同样的小正方形)每个正方形的边长为1，用这样的三个正方形拼成一个长方形，你能拼出几个不同的长方形?

     学生独立思考——

     生1：我能拼出两个长方形。

     师：说说是怎样的两个长方形。

     生1：是横着的一个，还有竖着的一个。

     师：横着的这个长方形的长是几?宽是几?

     生1：长是3、宽是1。

     师：还有一个呢?

     生1：还有一个长方形的长也是3、宽也是1。

     学生中发出“啊”的声音，以表示不同意这种说法。有些学生帮助纠正说“长是1、宽是3”。

     师：这无关紧要，反正长方形相邻的两条边，一条叫长，另一条就叫宽。

     师：同学们，这两个长方形实质上是怎样的?

     生：实质上是同样的长方形，只是放的位置不同。一个是横着放，另一个是竖着放。

     师：是呀，我觉得还可以斜着放。其实，我们只能拼出一个长方形，它的长是3、宽是1。（电脑演示：将三个同样的正方形拼成一个长方形，接着出示了四个同样的小正方形。）

     师：这样的四个小正方形能拼出几个不同的长方形?

     学生各自独立思考、想像后举手回答。

     生1：一个。

     师：也只能拼出一个？请说出该长方形的长和宽。

     生1：长方形的宽是1、长是4。

     生2：我认为还有一个，它的四边都是2。(话音刚落，学生中议论开了——)

     生3：他说的是正方形，我认为是对的。因为正方形是特殊的长方形。

     师：正方形也属于长方形，是一种特殊的长方形，所以，用4个同样的小正方形可以拼出几个不同的长方形?(结合学生回答，电脑演示出拼成的两个长方形。)

     师：同学们再想一下，如果有12个小正方形，你能拼出几个不同的长方形?

     【学生独立思考着，过了一会儿，有学生在纸上画了起来，渐渐地，越来越多的学生也拿出笔在纸上画了起来，这是我未曾想到的。但为了尊重学生自己的思维方式，我给出一定的时间让他们画。但是，我又不能让学生将大量的时间花在画出所有不同的长方形上面。因为引导学生进行空间想像及利用长方形面积计算方法进行数学地思考，促进思维的深入发展，这才是更加重要的。于是，我就进行教学调控。】

     师：我看到许多同学不用画就已经知道了。

     【我说这话的目的既起“暗示”作用——暗示学生不需将各个不同的长方形一一画出，也有办法知道“能拼出几个不同的长方形”；又起导向作用，让学生思考其他的方法或策略。我这话还真见效，一些学生立即停笔思考，很快有许多学生积极地举着手。】

     生1：能拼出三个不同的长方形。

     师：是怎样的三个呢?

     生1：长是12、宽是1的，还有长是6、宽是2的和长是4，宽是3的三个不同的长方形。

     师：你们能想像出拼成的这些长方形吗?

     生2：第一种是把这12个正方形摆成了1排；第二种是每排6个，摆2排；第三种是每排4个，摆3排。

     师：同学们，如果给出的正方形的个数越多，那拼出的不同的长方形的个数——，你觉得会怎么样?

     学生几乎是异口同声地说：会越多——

     师：(装作没听清楚)给出的正方形的个数越多，拼出的长方形的个数，你们是说——(同学们清楚又响亮地回答“越多”。)

     【此时，教师一声不吭，保持着沉默。课堂一下子沉静了下来。此时无声胜有声。同学们认真地思考着……又过了一会，学生间开始有点“骚动”，渐渐地，一些学生高举着手——】

     生1：不一定的。

     师：(故意重复)他说不一定，对吗?

     其他一些学生更加坚定而响亮地回答“对!”。

     师：说话得要有根据呀!

     学生的情绪更加激动——

     生：刚才四个正方形能排出两个，如果用5个正方形只能排出1个。如果用潘老师的说法，5个正方形排出的不同的长方形应该不止两个，所以，这话是错的。

     师：同学们听明白吗，他说得好不好?(学生回答“好!”)

     师：我觉得他说得还不太好，他说“潘老师说的”，我什么时候说过“小正方形个数越多，拼出的长方形的个数也越多”这话，这可是你们说的呀。不过，你们觉得刚才这位同学举的例子好不好?

     生：好!

     师：一个例子就把你们刚才的结论给否定了。多有说服力的反例!

     师：同学们，用小正方形拼长方形，有时只能拼出一种，有时拼出的长方形不止一种。你觉得当小正方形的个数是什么数的时候，只能拼一种?

     学生思考着，之后，相互之间展开了热烈的讨论。

     生1：我觉得当小正方形的个数是奇数——(还没待该生说完，有些学生便忍不住地打断他的发言。)

     师：慢!尊重人家，让人家把话说完。

     生1：是奇数的时候。

     师：我们首先要学会尊重别人，倾听别人的发言，然后对他人的言作出自己的思考，有不同意见的再与他人进行讨论。

     生2：我有反对意见。我想问××，9是什么数?用9个小正方形能排出几个长方形?

     生1：9是奇数，用9个小正形能排出两个长方形。我知道了，当个数是奇数时，也不一定只能摆出一个长方形。

     师：那该是什么数的时候呢?

     生3：如果小正方形的个数在除法里只能被1整除的话，这些小正方形只能拼出一个长方形。例如是一个小正方形。

     师：用一个小正方形怎么去拼呢?

     生4：那零呢?零是可以被任何数整除的。

     师：他说的是那个数能被1整除。

     生4：但是，零可以被任何数整除呀，也能被1整除的。

     师：噢——，我明白了。你的意思是零也能被1整除，那么零个正方形你怎么拼呢?

     生5：我想问前一位同学，你能找出只能被1整除的数吗?

     生3：43。

     生5：43还能被43整除。

     师：是呀，43能被1整除，还能被43本身整除。

     生5：我认为，这个数只能被1和它自己本身整除。

     师：我们一起来举些例子，检验她这话说得对不对?

     学生举例：3、13、7、5、11……

     生：还有1。

     师：只有1个正方形就不用拼了。

     同学们同意地点着头。

     师：我们发现表示正方形个数的数只能被1和它本身整除的时候，只能拼成一个长方形。什么情况下拼得的长方形不止一种?

     学生举例：4、6、8、9、10、12、14、15……

     师：说得完吗?

     生：说不完。

     师：那么，应该怎样回答这个问题呢?(一些学生发出无奈的叹气声：啊——)这些数有什么共同的特征?

     生1：这些数中，第二个、第三个每次都比前一个数增加2，然后第四个增加1，后面又每次增加2……(话没说完，一些学生“呀——”地表示不同意。)

     生2：我觉得这些数都能被两个以上的数整除。

     师：这些数都能被两个以上的数整除，你能结合例子说具体点吗?

     生2：4能被1、4整除，还能被2整除；6能被1、6整除，还能被2、3整除；8能被1、8整除，还能被2、4整除；9能被1、9整除，还能被3整除。

     师：这些数有着共同的特点，那就是它们除了能被1和它本身整除外，还能——

     生：还能被别的数整除。

     师：同学们，像上面这些数(指前面板书的3、13、7、5、11等数)，在数学上我们把它们叫做质数，下面的这些数(4、6、8、9、10、12、14、15等数)我们把它们叫做合数。什么样的数叫质数，什么样的数叫合数?

     学生独立思考后，在小组内进行交流，然后再全班交流。

     生1：质数就是只能被1和它本身整除，合数是能被两个以上的数整除。

     生2：我们小组在讨论了质数与合数后，还讨论了一个零。零到底是质数还是合数?我们认为是合数。

     师：(笑着)这个零的问题，我们待会儿再说，好吗?

     师：现在看来，大多数同学的意见是这样的，质数只能被1和它本身整除，而合数除了能被1和它本身整除外，还能被别的数整除。一个数能被1整除，说明1是它的——约数，能被它本身整除，说明它本身也是它的约数。

     结合学生回答，教师板书：（略）

     接着，让学生判断哪些数是质数，哪些数是合数

     生1：17是质数。

     师：为什么?

     生1：因为它只能被1和它本身整除。

     师：嗯——，能不能运用概念进行回答?

     生1：因为17的约数只有1和它本身，没有别的约数，所以，17是质数。

     师：对!运用概念去判断。

     生2：我觉得21是合数，因为它的约数有1和它本身，还有3和7。

     师：对!它的约数除了1和它本身外，还有别的约数3和7。

     生3：29是质数。

     生4：我觉得48是合数，因为它的约数除了1和它本身外，还有别的约数，譬如说24、2都是它的约数，所以它是合数。

     有一些学生认为她的回答“不完整”。

     师：有人说她的回答不完整，那谁能回答得完整?

     生5：我认为，48的约数除了1和它本身外，还有2和24、12和4。

     师：看来你的回答也“不完整”。

     这时，其他学生补充说，还有3和16、4和12、6和8。

     生6：我有一个问题，刚才××说的是“例如”，他并没有说全部的约数。

     师：那你说，要不要说出全部的约数?

     生6：不用的!只要说出一至两个就够了。

     师：一至两个，到底是说出两个还是说出一个就够了?(许多学生齐声回答“一个”)

     师：××同学，你同意吗?

     生5：同意。

     师：其实，刚才那位同学已经回答得非常好了，而这位同学的解释也很有道理。你要说48是合数的话，它的约数除了1和48外，还有——，这“还有”我只要举几个?

     生：一个。

     师：对!管它还有几个，我只要举出一个，就足以说明它是一个合数。(教师在刚才板书的质数、合数的定义中的“没有”与“还有”下面打上着重号。)

     接着继续进行判断。当电脑慢慢地显示出217813时，一些学生发出“噢——”的惊奇声，稍顿，电脑又显示出该数的最后一个数字“5”，此时，寂静的教室又热闹了起来，一些学生积极地举手争取发言——

     生1： 是个质数。(话刚出口，其他学生异口同声地“啊——”)

     师：你能说说理由吗?

     生1：它的约数除了1和它本身外，没有别的约数。

     师：如果真的没有别的约数，那么这个数就是质数。不过——，这个数到底还有没有别的约数?你再思考一，好吗? 生2：根据我们上学期学的能被5整除的数的特征，我们知道个位上是0或5的数能被5整除，所以，这个数有别的约数5，它是合数。

     师：你们觉得他回答得怎么样?

     生：好!

     师：你们说的“好——”很不具体，能不能说出到底好在哪里?

     生3：我觉得他好在能运用上学期学的知识和现在学的概念来分辨一个数是质数还是合数。

     师：你们觉得他回答得好不好?(学生响亮地回答“好!”)

     师：他好在哪里?(同学们及听课的老师会意地笑了起来。)是呀——他能自觉运用我们已经学过的能被2、5、3整除的数的特征等知识来回答今天的问题，这就好!

     接着，电脑屏幕上又渐渐地显示出“10000032”，同学们激动地说是“合数”。

     师：这么大的数，同学们都能迅速作出正确的判断，小的数更不在话下，对吗?

     成功的喜悦洋溢在同学们的脸上，大家非常自信地回答“对”!这时，教师随手板书“1”，许多学生都笑了起来。

     师：请同学们人人发表自己的意见。你认为1是质数就打手势“1”，认为1不是质数就用手势“2”表示。

     大家作出了思考，随着教师的一声口令，同学们都打出了手势。结果，班上只有5个学生认为1不是质数，其余学生都认为1是质数。

     师：同学们，你能说出选择的理由吗?

     大家非常有自信地回答“能!”

     生1：1能被1整除，1还能被它本身整除，没有别的约数，所以1是质数。

     生2：他说1只能被1整除，那么，我想问“1除以43”呢?

     教师提醒，１能被４３整除吗？该生马上发现了自己的错误。课后教师了解到，生２认为“１除了整除它本身，还能整除任何一个自然数”，但举例时却说成“１除以４３”。同学们也马上发现了问题，提醒道“是整除”。

     生3：那我想问你——

     师：你想问潘老师?

     生3：是的。

     师：好呀，问潘老师，当然可以。请问吧!

     生3：它的规定上面没有说要整除。

     许多学生在提醒该生是“约数”。

     师：噢，你说什么是“约数”?

     生3：在整除的情况下，除数是被除数的约数。

     师：对呀，那你说规定上还要写明是“整除”吗?(该生也点着头，满意地坐下。)

     生4：我继续有反对意见!那零呢?

     该生话刚说出口，其他的同学一起向他指出“零不可以作除数”。

     师：零能被1整除，零能被100整除——

     生5：(教师的话还没有说完)零还能被它本身整除。

     一石激起千层浪。

     生6：1除以零呢?我认为零是不能作为除数的，因为零乘以任何数不会等于1的。零作除数是没有意义的。

     师：同学们的讨论是很不错的。对于“1”是不是质数，大家都在从概念出发进行判断。有的同学认为1是质数，也有的认为1不是质数，在认为1不是质数的人中间，还有一个人，他是谁啊?

     教师举着手在问大家，同学们却转头相互看着，终于有学生说着“是老师”。

     师：我告诉你们，这1确实不是质数!

     同学们怀疑地发出“啊”的声音，有的学生补充着“也不是合数”。

     师：(肯定地)对!1也不是合数。

     生7：我想问你，1是什么数?(有些学生回答说1是自然数)

     师：(承接着)1是自然数呗。可是，1好像是符合质数的条件的，为什么说1不是质数呢?

     【学生中既然对此存有疑问，有必要讨论一下，不宜教师“一锤定音”。】

     生8：因为1和它本身是一个数。

     师：是呀，1是1的约数，它本身也是1的约数。同学们，问题到底在哪里?

     一些学生窃窃议论着，可能是概念有问题。

     生：可能是编书的老师编错了。

     师：有可能是“编书的”编错了，编书的老师今天也在。(大家哈哈大笑了起来)

     师：那怎样说，才能说明1不是质数呢?

     生9：当1和它本身是相同的时候，这个数就不是质数。

     师：也就是说1只有1个约数，它不是质数。那么，质数的约数应该是几个呢?

     生10：是“两个约数”。

     结合学生的回答，教师在前面板书的“一个数除了1和它本身”后插入“两个约数”。

     【这样的定义虽然与课本上的叙述不尽相同，但确实表明学生已经理解质数的概念了。】

     师：现在运用这个概念，同学们你们能判断吗?

     学生回答“1不是质数也不是合数”。

     生：零是什么数?

     师：零肯定不是质数。这零的问题，我们以后再好好地研究，好吗?

     【对于学生提出“零是什么数”的问题，我首先想到的是要保护学生敢于质疑的积极性，同时又考虑到“数的整除”是在非零自然数范围内学习的，为此，与学生商量着“以后再好好研究”。】

     电脑出示：73。学生在思考着它是不是质数。

     师：要想马上知道73是什么数还真不容易。如果有质数表可查就方便了。(同学们都说“是呀”。)

     师：这表从哪来?

     一个学生举起一张课前印发的纸，高兴地说质数表在这儿。

     师：这上面是1到100这１００个数。（一些学生大声地说“９９个数”）它不是质数表。

     师：对!因为1既不是质数，也不是合数，所以我把它丢了。你们怎样找出100以内的质数，制成质数表?[见附表(略)]

     【对于制作100以内的质数表，我认为用什么样的方法去制表，要比单纯地找出这些质数更为重要，因为它能够让学生在制表的过程中，学习数学的思想方法。所以，在上课之前，我将原来印有的“把质数留下，其他的数划去”的要求删除。这样，同学们就不是机械地按教师的指令操作，而是从自己的实际出发自由地展开思维。】

     师：刚才，我们的有些同学接受任务后，马上就去找。要是我，我可不急于去找，而是想想用什么方法去找。说说你们是怎样找的。

     生1：我是按照质数的概念一个一个地进行判断，是质数的用一种符号表示，是合数的用另一种符号表示。

     生2：我是将质数用符号表示出来，剩下的数划去。

     师：(若有所思地)把质数留下，其他的数去掉，这——，古代数学家就是用这种筛选的方法制作质数表的。我们都来“筛”吧！

     接着，学生各自用筛选的方法在制作质数表。在学生进行了一段时间的实践后，由学生进行介绍。结果，大多数的学生是用逐个数判断的办法筛选出质数的。

     师：怎样筛选得更快?

     生1：我先把偶数都划掉。

     话没说完，许多只手举得高高，一些学生急不可待地说着“不对!2不能划去”。

     师：同学们，你们应该让人把话说完，再发表你的意见，对吗?

     生1：我刚才说错了。应该把2留下，因为2是质数，把2以外的其他偶数都划去；接着把3留下，其他的3的倍数都划去；把5留下，其他的5的倍数都划去；把7留下，其他的7的倍数都划去……

     此时，同学们一起回答着“把11留下，其他的11的倍数都划去……”

     师：表中11的倍数是哪些呢?你能说出几个吗?

     同学们在列举着，从中发现22、33、44、55、66、77、88、99等在前面都已经划去了。

     师：再看看，表中还有要划去的数吗?

     学生自己发现了规律，高兴地说“不用再划下去了”。

     生4：我有更快的方法，第一列留2，其他都划去；第二列留3，其他都划去；第三列都划去；第五列都划去；再接下去，只要在第四列和第六列中去找质数。（这时下课的铃声响了。）

     生5：我发现，除了2和3两个质数外，其他的质数都在第四或第六列中。

     师：第五列的数有什么特点?

     生6：它们都能被6整除，是6的倍数。

     生7：我知道2、3以外的质数比6的倍数少1或比6的倍数大1。

     生8：我发现1到20的数中有8个质数，可80到100的数中只有3个质数，以后的质数会不会越来越少?质数的个数是不是有限的?

     师：同学们善于观察、肯于动脑、敢于提问，太好了。关于质数与合数的学问多着呢!你们听说过数学皇冠上的明珠——哥德巴赫猜想吗?若感兴趣，就上网去吧。

     同学们的好奇心油然而生，尽管下课的铃声已响过，可大家仍沉浸在数学的梦幻之中……

     附表：（略）

     编后记　笔者3月25日在宝山区实验小学现场听了这一堂课。感受最深的一点是老师的真情投入，师生心灵间的交流与感应，调动起学生的兴趣，激发出生的创造力，使学生的学习体验和效率成倍提高。感人心者，莫先乎情，情迫则思深矣。