数学教案：等差数列

 等差数列

　　典例剖析

　　题型一 求等差数列的项

　　例1. 在等差数列{ }中,若 + =9, =7, 求 , .

　　解:∵ {an }是等差数列

　　∴ + = + =9 =9- =9-7=2

　　∴ d= - =7-2=5

　　∴ = +(9-4)d=7+5*5=32 ∴ =2, =32

　　评析:要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式。而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项。

　　题型二 等差数列的通项公式

　　【例2】在等差数列 中,已知 , ,求

　　【解法一】:∵ , ,则

　　∴

　　【解法二】:

　　评析:等差数列的通项公式涉及到四个量a1、an、n、d,用方程的观点知三求一。列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法,注意通项公式更一般的形式

　　备选题

　　【例3】若 ,则 成等差数列。

　　【证明】由 得

　　,

　　即 , ,

　　成等差数列。

　　评析:当已知a、b、c成等差数列时,通常采用2b=a+c作为解决问题的出发点.

　　点击双基

　　1.已知{an}是等差数列,a7+a13=20,则a9+a10+a11=( )

　　A.36 B.30 C.24 D.18

　　解:由a7+a13=20, ,a9+a10+a11= ,故选B

　　2、已知等差数列 中, 的值是( )

　　( )

　　A 15 B 30 C 31 D 64

　　解:已知等差数列 中,

　　又 ,故选C

　　3、 是首项 =1,公差为 =3的等差数列,如果 =2005,则序号 等于( )

　　A 667 B 668 C 669 D 670

　　解: 是首项 =1,公差为 =3的等差数列,如果 =2005,则1+3(n-1)=2005,

　　故n=669,故选C

　　4.等差数列 中, 的等差中项为 , 的等差中项为 ,则 .

　　解: , ,

　　5、等差数列1,-3,-7,-11,…的通项公式是_________

　　解: ;-75

　　课外作业

　　一、选择题

　　1. 设等差数列 中, ,则 的值等于(C )

　　A、11 B、22 C、29 D、12

　　解: 也成等差数列, =29,故选C

　　2.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8等于( )

　　A.45 B.75 C.180 D.300

　　解:a3+a4+a5+a6+a7=450, a2+a8 ,故选C

　　3. 等差数列{an}中,若a2+a4+a9+a11=32,则a6+a7= ( )

　　(A)9 (B)12 (C)15 (D)16

　　解:a2+a4+a9+a11=32, ,

　　故选D

　　4. 设 是公差为正数的等差数列,若 , ,

　　则 ( )

　　A. B. C. D.

　　解: , ,

　　,故选B

　　5. 若等差数列 的公差 ,则 ( )

　　(A) (B)

　　(C) (D) 与 的大小不确定

　　解: ,故选B

　　6. 首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是( )

　　A.d> B.d<3 C. ≤d<3 D.

　　解: ,

　　7、在等差数列 中, ,

　　则 为( )

　　,故选C

　　8、已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为 的等差数列,

　　则|m-n|等于( )

　　A.1B. C. D.

　　解:设4个根分别为x1、x2、x3、x4,则x1+x2=2,x3+x4=2,由等差数列的性质,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq.设x1为第一项,x2必为第4项,可得数列为 , , , ,∴m= ,n= .∴|m-n|= ,故选C

　　二、填空

　　9.已知等差数列的第10项为23,第25项为-22,则此数列的通项公式为an=

　　解:

　　10. 若等差数列 中, 则

　　解:

　　11、已知数列 中, , ,则数列通项 __________

　　解: 是以 为首项,以 为

　　公差的等差数列,

　　三、解答

　　12. 等差数列 中, , ( ),求 的值。

　　解:公差d=

　　13.已知数列 为等差数列,且 求数列 的通项式。

　　解:设等差数列 的公差为d.

　　由 即d=1.

　　所以 即

　　14.数列 中, , ,求数列 的通项公式

　　解:解:∵ ∴

　　∴ 即

　　∴ 数列 是首项为 ,公差为 的等差数列

　　∴

　　由已知可得 ∴

　　思悟小结

　　1、等差中项:若 成等差数列,则A叫做 与 的等差中项,且

　　2、为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…, …(公差为 );偶数个数成等差,可设为…, ,…(公差为2 )

　　3、当公差 时,等差数列的通项公式 是关于 的一次函数,且斜率为公差 ;若公差 ,则为递增等差数列,若公差 ,则为递减等差数列,若公差 ,则为常数列。

　　4、当 时,则有 ,特别地,当 时,则有 .

　　5、若 、 是等差数列,则 、 ( 、 是非零常数)、 、 ,…也成等差数列,而 成等比数列