解放军文职招聘考试阿拉伯几何学

 几何学

　　阿拉伯几何学主要受欧几里得、阿基米德和希罗(Heron)的影响．

　　艾布瓦法在他的《几何作图法》(Kjtāb fī mā yahtaji-layh al-s nij‘min al-a‘mal al-handasiyya)中，研究了用直尺和固定角规作图的问题，给出抛物线作法及各种圆内接正多边形的作法，还研究了某些等积问题．

　　巴格达的塔比伊本库拉(T bit ibn Qorra，836—901)是一个很全面的学者．除了研究数学之外，他还是医生、哲学家、天文学家和物理学家．他翻译了欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯和托勒密的著作．他还研究数系，预见了实数系的建立．还推广了阿基米德的积分思想，计算了椭圆积分的特殊情形．在他的著作里还发现有关毕达哥拉斯定理的独特的直观证明．塔比伊本库拉是中世纪首先研究平行线理论的学者．他的几何著作很富于启发性，他对欧几里得第五公设的研究对后世非欧几何的诞生有一定影响．

　　奥马海亚姆也曾为《几何原本》中某些公设作出注释，他的著作《对欧几里得几何原本中困难公设的注释》(Sharh māashkala min musādarat kitab Uqlidis)流传至今，一直影响到很晚以后的东方数学．继奥马海亚姆之后，纳西尔丁对平行线理论作出了重要的推进．他的两种附有增补和注释的《几何原本》的译本流传到现在．第一种版本包括《原本》译文共13卷，第二种包括15卷．第一种版本是在1594年在罗马以阿拉伯文字刊行的，1657年还出版了它的拉丁文本(但不完整)．英国数学家沃利斯(J．Wallis， 1616—1703)和意大利数学家萨凯里(G．Saccheri，1667—1733)都很熟悉这些版本．在这些版本中，纳西尔丁为证明欧几里得第五公设作出了尝试．沃利斯在17世纪把他的证明译成拉丁文，并称之为“现有论证中最机智的论证”．纳西尔丁的工作是非欧几何最重要的先驱性工作．

　　首先，纳西尔丁不加证明就采用了下面两个预备定理：

　　(1)若AB， CD是如下的两条直线(图6．8)， 由AB上各点向CD作垂线EF， GH，KL，它们和AB都交成不相等的两个角，假如与向着B的方向上的边所成的各角都是锐角而与向着A的方向的边都形成了钝角，那么直线AB和CD虽然现在还没有相交，但它们在锐角的方向上逐渐地靠近，而在钝角的方向上则逐渐地分离开来．也就是说，这些垂线在向着B，D的方向上是逐渐缩短的，而在A，C的方向上则逐渐增长．

 

　　(2)反过来说，假如被引用的是这样一些垂线，它们在B，D的方向上逐渐缩短，而在靠近A和C的方向上逐渐增长，亦即直线AB和CD在靠近B，D的方向上逐渐接近，而在相反的方向上则逐渐分离开来，那么每条垂线都和AB直线形成两个角，一个是锐角，一个是钝角；这时，所有的说角都向着B，D，而钝角都向着相反的方向．

　　这两个预备定理并不依赖于欧几里得第五公设．纳西尔丁利用上述两个预备定理证明了如下第三个预备定理：

 

　　(3)假如从直线AB的两端引两条垂线AC和BD，并截取相等的线段AC和BD(图6．9)，则角ACD和BDC均为直角．

　　借助于预备定理3，纳西尔丁毫无困难地就证明了第五公设．事实上，这一预备定理又和三角形内角和等于二直角这一定理等价，预备定理3并不和第五公设等价，而是比它更强些，因为第五公设只排除罗巴切夫斯基的非欧几何学，而预备定理3却可以同时排除罗巴切夫斯基的非欧几何学和黎曼的非欧几何学．

　　纳西尔丁采用如下的公设代替第五公设：

　　“同一个平面上的若干直线，若在一个方向上是分离开来的，那么它们在这个方向上就不会靠拢．”

　　这一公设仍旧排除两种几何，即比第五公设有力．

　　在证明预备定理3时，纳西尔丁还证明了以下与第五公设等价的命题：

　　(1)垂线与斜线必然相交．

　　(2)自角内的一点永远可以引一直线与该角的两个边相交．

　　阿拉伯的许多学者都曾研究并计算过圆的周长和直径之比——π的值．但长期以来未能超过希腊人和中国人所达到的精确度．

　　关于π的异常精采的计算由卡西在他的代表作《圆周论》中给出．这部著作是近似计算的优秀代表作．不仅计算结果有17位准确数字，而且对误差的估计十分精美和简单．

　　卡西和他的先辈阿基米德一样，也是利用圆内接和外切正多边形对圆进行测量，但他在计算过程中的具体方法有所不同．卡西首先在半径是60的圆中定义弦长的序列

　　C1，C2，C3，…

　　它们所对应的弧依次是

　　120°，150°，165°，172°30′．

　　如果用αn来表示上述弧的序列，则有

　　

　　图6．10中，为了计算αn，卡西首先建立了速推公式

　　 

　　其中r是圆的半径．事实上，如作DG⊥AB， EH⊥AC，则由△ABD∽△AGD，可得

　　AD2＝AB·AG． (2)

　　再由△EGD≌△AEH，得AH＝EG，从而

　　

　　从而(2)式成为

　　

　　这就是(1)式．

　　

　　由勾股定理有

　　　　

　　d为直径．由此式及(1)式，卡西计算了圆内接3×2n边形的周长．他制造了28个大型表格，依次计算出n=1，2，…，28时圆内接正3×2n边形的周长．若取r＝1，则可算得

　　

　　于是当n＝28时有

　　

　　再乘以边数就可以得到圆内接正3×228边形的周长P28．

　　卡西利用比例式

　　　　

　　又计算出圆外切正3×228边形的周长．然后把它们的算术平均值

　　

　　6.283 185 307 179 5865，

　　除以2即得

　　π=3.1415926535897932．

　　17位数字全部是准确数字！卡西给出的误差估计为

　　

　　十分简单而精密．

　　卡西的计算结果打破了中国数学家祖冲之保持了一千多年的纪录．

　　奥马海亚姆(Omar Khayyam，约1048—约1131)发明的三次方程的几何解法是中世纪阿拉伯数学中最卓越的成就之一，他生于霍拉桑州尼沙普尔．早年在故乡和巴尔赫受过广泛的科学和哲学的教育后去撒马尔罕，在那里完成了他的重要数学论著．后来塞尔柱王朝的苏丹请他去进行修改历法所需的天文观测，并共同创造了哲拉里历．这位才华横溢的学者精通哲学、法学、历史、数学、天文学和药学，但留存至今的作品甚少．

　　海亚姆还从祖先那里继承了对诗歌的爱好，他的《四行诗集》在19世纪以后被译成多种文字．因此，海亚姆还以一位伟大的诗人闻名于世．

　　海亚姆在算术、代数、几何等方面都有重要贡献．他最重要的数学著作是《代数问题的证明》(Risāla fi’l-barāhin‘alā masā’il al－jabr wa’l-muqābala)，除了它的阿拉伯文手稿和拉丁文译本外，近代还被译成多种文字．在这部著作中，海亚姆独出心裁地提出了解三次方程的几何方法．例如，为解方程

　　x3＋bx＝a，

　　他首先把它化为齐次方程

　　x3+p2x=p2q．

　　 然后，他作出抛物线(图6．11)

 

　　x2＝py

　　和圆

　　　　

　　并利用抛物线和圆的性质详细地论证了两条曲线的交点D到竖直线AB的距离DG就是方程的解．事实上，从上面两个曲线的方程中消去y得到一个四次方程

　　x4+p2x2=p2qx，

　　再消去因子x就得到上面的齐次方程．如果利用抛物线和圆的性质，则有

　　

　　由此可得

　　

　　即

　　p2(q-x)＝x3

　　或 x3＋p2x＝p2q．

　　海亚姆还正确地指出此方程只有唯一的正根．

　　海亚姆的代数著作中共列出14种典型的三次方程．对每种方程，他都适当地选择两种圆锥曲线，用类似上述的方法求出方程的几何解．深入研究他的方法，人们发现海亚姆所选择的曲线还遵循着一定的规律，这也正是他的方法的巧妙之处．

　　一些科学史家认为，海亚姆解三次方程的几何方法是笛卡儿解析几何学的先驱性工作．如果把海亚姆的工作与笛卡儿的《几何学》进行比较，不难发现，海亚姆的具有一般性的方法与解析几何学的思想是同源的．他的工作预示了新数学的发展方向．

　　10—11世纪伊拉克学者伊本海塞姆(al－Hasan ibn al-Haytham，约965—1039)曾计算抛物弓形分别绕弦、顶点切线或任意直径旋转所得旋转体之体积．他的工作推进了阿基米德的方法，从本质上是应用了无穷小分析的方法．

　　为了求出这些旋转体的体积，伊本海塞姆建立了自然数1至4次幂的求和公式．例如，

　　

　　这个公式后来在卡西的《算术之钥》中以不同形式给出．伊本海塞姆在估计误差时还引出了不等式

　　

　　他的主要结果有

　　1．平面曲边图形abg(ab为抛物线一段， ag为任一直径)围绕ag旋转所得立体体积等于以bk为底面半径(图6·12)，高KL＝ag的圆柱体体积之半．

　　2．平面曲边图形abg(ab为抛物线一段，bg为任一直径)围绕ag旋转所得立体体积等于以KL＝ag为高，底面半径等于bk的圆柱体体积

 

　　纵坐标，bg当作横坐标，设dg＝bg＝r， ag＝h，则抛物线y2＝p(x＋r)的弓形abg绕ag旋转所得体积应为

　

　　求立体的体积是积分学的典型问题，伊本海塞姆所提出的问题和解决问题的方法被认为是微积分学的先驱性工作．

　　伊本海塞姆还是杰出的物理学家．他所著《光学》一书后来在欧洲产生很大影响．书中有一镜面光线反射问题，他用几何学方法解决之，十分巧妙．这个问题就以海塞姆问题载入数学史．其大意是：设P为已知圆周上的动点，A及B为二定点，问P点在何位置时，PA＋PB为极大或极小．这个问题引出一个二次方程，用双曲线和圆相交解出．伊本海塞姆于1036年刊行一本《几何问题集》．

　　关于伊本海塞姆，还有一个悲惨的传说．他曾自誇能造一部会控制和调节尼罗河泛滥的机械．很快他就发现自己的设计脱离实际，但哈利发哈奇姆(Hakim)召他到开罗验证并说明其想法，他怕哈利发发怒只好装疯，因为当时对精神病患者特别保护．他就这样小心翼翼地装疯直到1021年哈奇姆死去．

第七章 欧洲中世纪的数学

　　欧洲历史上的中世纪，通常指5世纪西罗马帝国的灭亡到15世纪文艺复兴的开始，前后大约有一千年之久．这一阶段是欧洲的封建社会时期．

　　众所周知，古希腊人把数学发展成为一门独立的、演绎的科学．但是，日耳曼人对西罗马帝国的摧毁和对古希腊罗马文化的扫荡使数学遭到前所未有的厄运．其后果是在数学发展史上出现了一个长达五、六个世纪的黑暗时期．11世纪以后，随着大翻译运动的出现，希腊科学的经典著作和阿拉伯科学传入欧洲，数学才开始在欧洲复苏．与此同时，欧洲各地陆续出现许多新兴大学．这些从教会学校转变而来的大学后来成为科学发展的重要基地．13世纪以后，初等数学各分支在欧洲获得了相应的发展．