2019年湖南省长沙市中考数学真题及答案

2019 年湖南省长沙市中考数学真题及答案 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列个数中，比﹣3 小的数是 A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1 2．根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到 2020 年，长沙电网建设改造投资规模达到 15000000000 元，确保安全供用电需求数据 15000000000 用科学记数法表示为 A． 15 109 B． 1.5 109 C． 1.5 1010 D． 0.15 1011 3．下列计算正确的是 A． C． 3a  2b 5ab a 6 a 3 a 2 B． D． (a 3 ) 2 a 6 ( a  b) 2 a 2  b 2 4．下列事件中，是必然事件的是 A．购买一张彩票，中奖 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是 180° 5．如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截，∠1＝80°，则∠2 的度数是 A．80°B．90°C．100°D．110° 6．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是 7．在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中，11 名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前 5 名进 入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这 11 名同学成绩的 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 第 5 题第 9 题第 10 题 8．一个扇形的半径为 6，圆心角为 120°，则该扇形的面积是 A．2πB．4πC．12πD．24π 9．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 1 1 AB 的长为半径作弧， 2 两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠CAD 的度数是 A．20°B．30°C．45°D．60° 10．如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离灯塔 60 n mile 的小岛 A 出发，沿正南方向 航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的距离是 A． 30 3 n mileB．60n mileC．120n mileD． (30  30 3) n mile 11．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是 ：“今有木，不知长短，引绳度之， 余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩 余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余 1 尺，问木头长多少尺？可设木头长为 x 尺，绳子长 为 y 尺，则所列方程组正确的是 A．  y  x  4.5  0.5 y  x  1 B．  y  x  4.5   y 2 x  1 C．  y  x  4.5  0.5 y  x  1 D．  y  x  4.5   y 2 x  1 12．如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD ＋ 5 BD 的最小值是 5 A． 2 5 B． 4 5 C． 5 3 D．10 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．式子 x 5 14．分解因式： 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是． am 2  9a ＝． 15．不等式组  x  1 0 的解集是．  3x  6  0 16．在一个不透明的袋子中有若千个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜 色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模 拟的摸球试验统计表： 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是（结果保留小数点后一位）． 17．如图，要测量池塘两岸相对的 A，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点 C，连接 AC，BC，分别取 AC，BC 的中点 D，E，测得 DE＝50m，则 AB 的长是 m． k x 18．如图，函数 y  (k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限 内双曲线上的动点（点 M 在点 A 的左侧），直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别 交 x 轴，y 轴于点 E，F．现有以下四个结论 ： ①△ ODM 与△OCA 的面积相等 ； ② 若 BM⊥AM 于点 2 M，则∠MBA＝30°；③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝ 2  3 ；④若 MF＝ 2 5 MB，则 MD＝2MA．其中正确的结论的序号是． 第 12 题第 9 题第 10 题 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（6 分）计算：  1 2  ( ) 1  2 6  3  2 cos 60 ． 20．（6 分）先化简，再求值： a  3 ( a 1  1 a 2  4a  4 ，其中 a＝3． ) a 1 a2  a 21．（8 分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识 的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良 好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了名学生；表中 m＝，n＝； （2）补全条形统计图； （3）若全校有 2000 名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好” 等级的学生共有多少人． 22．（8 分）如图，正方形 ABCD，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 DE＝CF，AF 与 BE 相交于点 G． （1）求证：BE＝AF； （2）若 AB＝4，DE＝1，求 AG 的长． 3 23．（9 分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿辅导， 某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学 生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次． （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 24．（9 分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四 边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确 （直接在横线上 填写“真”或“假”）． ① 条边成比例的两个凸四边形相似；（命题） ② 三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题） ③ 两个大小不同的正方形相似．（命题） （2）如图 1，在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1， AB BC CD ，求证：四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似．   A1B1 B1C1 C1D1 （3）如图 2，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 分别交 AD，BC 于点 E，F．记四边形 ABFE 的面积为 S1 ，四边形 EFDE 的面积为 S2 ，若四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，求 S2 的值． S1 25．（10 分）已知抛物线 y  2 x 2  (b  2) x  (c  2020) (b，c 为常数)． （1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求 b，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 c 的取值范围； 4 （3）在（1）的条件下，存在正实数 m，n( m＜n)，当 m≤x≤n 时，恰好有 m ≤ 1 ≤ 2m  1 y  2 n ，求 m，n 的值． 2n  1 26．（10 分）如图，抛物线 ( 为常数， ＞0)与 x 轴交于 O，A 两点，点 B 为抛物线的 a y ax 2  6ax a 顶点，点 D 的坐标为(t，0)(﹣3＜t＜0)，连接 BD 并延长与过 O，A，B 三点的⊙P 相交于点 C． （1）求点 A 的坐标； （ 2 ） 过 点 C 作 ⊙ P 的 切 线 CE 交 x 轴 于 点 E ． ① 如 图 1 ， 求 证 ： CE ＝ DE ； ② 如 图 2 ， 连 接 AC，BE，BO，当 ＝ 3 ，∠CAE＝∠OBE 时，求 1 a OD 3 参考答案 5  1 的值． OE