2020内蒙古国家电网考试行测：了解有趣的方阵问题

　　由于此类问题的相遇过程复杂，难以用公式进行深入直观的分析，如能巧妙地引入画图法，就能达到化繁为简、化抽象为形象的效果。

　　真题一：A大学的小李和B大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于A、B两校之间。现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇。问A、B两校相距多少米?( )

　　A.1140米 B.980米 C.840米 D.760米

　　解析：答案选D。这是一道二次相遇问题，相遇过程如图所示。设小李与小孙第一次相遇地点为C，第二次相遇地点为D。则小李与小孙第一次相遇时，两人走过的路程和为AC+BC=AB(如图红线所示)。小李与小孙从第一次相遇开始至第二次相遇为止，两人走过的路程和为BC+BD+AC+AD=2AB(如图蓝线所示)。因此，小李和小孙两人从开始出发至第二次相遇时所走的路程为3AB=12×(85+105)，得AB=760。

　　在军事检阅的时候，会要求解放军排着整齐的方队接受检阅，必须按一定的规则排成一定的队形，于是公务员考试行测中就产生了这样一类数学问题：方阵问题，就同大家一起来研究和分析这类问题。

　　一、方阵问题特征

　　例1.三年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?

　　例2.有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵?

　　以上两道例题就是方阵问题，那方阵问题要怎样来解决呢?这就需要大家先对方阵问题进行研究，看看方阵问题到底是什么?

　　观察上面两个题目我们可以看到方阵问题的考察主要有这样几个方面：

　　(1)给出了方阵的外围人数，求方阵共有多少人?

　　(2)给出了方阵的总数量，求最外层的数量?

　　那这两个问题要怎么样解决呢?在解决这个问题之前，我们先来看下它有什么样的特点，假设这里有一个n×n方队:

　　从图中可以看到：

　　(1)方阵不论哪一层，每边上的人数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2;

　　(2)每边人数和四周人的关系

　　方阵的四周每边都有4人，但是每边头尾的两个人是可以继续计算在相邻边的人数中的。如果每边人数乘以4的话，会多出4个人，如果每边人数正好少算一个的话，乘以4就是真正的四周的总人数了。

　　所以四周人数=(每边人数-1)×4

　　相应的：每边人数=四周人数÷4+1

　　(3) 方阵的总人数如何计算

　　对于方阵总人数的计算，要分成实心方阵和空心方阵两种情况：

　　若是实心方阵，每行的人数都是相等的，为n，一共有n列，所以总人数就是n×n，即实心方阵的总人数=每边人数×每边人数;

　　若是空心方阵的话，要想直接计算就比较困难。可以按照这样的思路考虑：空心方阵是这样构成的，即整个实心的大方阵减去中间的部分，而中间空白的部分其实还是实心方阵。所以只要分别计算这两个实心方阵，再相减就可以了。

　　空心方阵的总人数=最外层每边人数²-空心方阵的层数²

　　二、方阵问题解法

　　我们在了解了方阵的特征之后，就来看一下具体的方阵问题怎样求解。

　　先来看第一种，给出了方阵的外围人数，求解方阵共有多少人?

　　例1.三年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?

　　分析：根据四周人数与每边人数的关系可知:

　　每边人数=四周人数÷4+1，可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了。

　　解：(1)方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6(人)

　　(2)整个方阵共有学生人数：6×6=36(人)

　　答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。

　　再来看第二种，给出了方阵的总数量，求最外层的数量。

　　例2.有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵?

　　分析：首先，第一问，问方阵最外层的杨树和柳树的数量是多少。我们就先计算最外层一共有多少棵树。

　　由题目易知：最外层数量=(7—1)×4=24棵，又因为杨树和柳树是间隔种植的，所以杨树和柳树各有12棵。

　　第二问：方阵中共有杨树和柳树多少棵，由于我们的树苗每行和每列都是奇数，所以先种杨树还是先种柳树对最后的数量是有影响的，我们要分情况讨论：

　　由于每行种植的树苗的数量为7棵，又是间隔种植的，所以种植的数量就是杨树和柳树一个种3棵，另一个种4棵。

　　假设第一种情况：第一行杨树4棵，柳树3棵，则第二行正好是相反的，杨树3棵，柳树4棵，以后依次类推。

　　共7行，所以计算杨树有4+3+4+3+4+3+4=25棵，柳树有3+4+3+4+3+4+3=24棵。

　　假设第二种情况：第一行杨树3棵，柳树4棵，和第一种情况正好是相反的。

　　计算可得杨树有24棵，柳树有25棵。

　　希望考生通过以上讲解能够对解答方阵问题有深入了解，其实行测问题并不难，只要大家懂得举一反三，就不会把自己淹没在题海战术当中了，同时也希望大家能够注意总结，从埋头苦学变为活学活用，只有这样才能在行测备考中一马当先。

　　真题二：小李、小王各自在路上往返于甲、乙两地匀速跑步，即到达一地便立即折回另一地跑步，设开始时他们分别从两地同时相向出发，若在距离甲地300米后他们第一次相遇，第二次相遇的地点在距乙地200米处，则甲、乙两地的距离可能为( )米?

　　A.900米 B.600米 C.800米 D.700米

　　解析：答案选D。由上题可知，两人从开始出发到第一次相遇时所走路程和为AB，从第一次相遇到第二次相遇时所走路程和为2AB，可得从第一次相遇到第二次相遇时两人所走路程和是从开始出发到第一次相遇时所走路程和的2倍。由于两人速度均不变，易知从第一次相遇到第二次相遇时两人所用时间是从开始出发到第一次相遇时所用时间的2倍。

　　如图所示，由于小李速度不变，可知小李从第一次相遇开始到第二次相遇为止所走路程(CB+BD)是小李从出发开始到第一次相遇为止所走路程(AC)的2倍。即CB+BD=2AC，由题可知，AC=300，DB=200，可得CB=400。因此甲乙两地距离AB=AC+BC=700。

　　近年来多次相遇问题的出现频率逐渐升高，而且考察方式也在不断变化。但无论何种考察方式，只要掌握了行程问题的基本公式，并且能用线段图清晰地展示出两人的行程，那么多次相遇问题就可以迎刃而解了。