2020广西中烟工业公司考试行测：求解二元一次不定方程之三看法

一、认识不定方程

1.方程

含有未知数的等式，叫方程。例如：

2.不定方程

未知数的个数超过独立方程的个数，这样的方程叫不定方程。(独立方程，简言之就是这个方程能否由其他方程线性组合得到，如果能，则不是独立方程，如果不能，则是独立方程。)例如：

这个方程也叫二元一次不定方程，因为它未知数的个数有两个，且未知数的次数都是1，这样的方程是我们现在研究的重点。

这样的方程都叫做不定方程。

3.不定方程的解

能够让方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。在这里，主要介绍数量关系中最常见的二元一次不定方程的解的求法。例如：

可见，在实数范围里，这样的不定方程的解有无数组。但是在数量关系的应用题当中，我们借助不定方程去解一些应用题的时候，往往是在正整数范围里去解方程。在正整数里去解这样的二元一次方程，它的解往往只有一个或者有限个解。

二、求不定方程的解

1.求解方法

案例一：在正整数范围里去求解这个方程：

一看，x和y前面的系数有没有偶数——限定未知数的奇偶性。经观察，x前面的系数是2,2是偶数，所以无论x取到什么正整数，2x这一项一定是偶数。再看常数项21，是奇数。由于偶数加上奇数才能得到奇数，所以7y这一项必为奇。由此判定y必为奇数，因为y若为偶，7y也为偶了，不符合要求。

y限定为奇数，y只能等于1、3、5···，当y=1时，x=7;当y=3时，x=0,不是正整数，排除;当y=5时，x也不是正整数，往后更加不可能。因此，在正整数范围里，它只有唯一的一组解，就是x=7,y=1.

下面，再举一个例子，来一起感受三看法解题的快捷准确性。

案例二：在正整数范围里去求解这个方程：

一看，x和y前面的系数有没有偶数——限定未知数的奇偶性。4是偶数，4y这一项必为偶，32是偶数，偶数+偶数=偶数，因此5x这一项也必为偶数，x必为偶数。

二看，x和y前面的系数有没有5的倍数——尾数(个位数)。x前面的系数是5，是5的1倍，所以5x这一项的尾数一定是0或者5，根据刚才的结论，5x这项为偶，所以5x的尾数一定是0。32的尾数是2，根据0+2=2，得4y的尾数一定是2.从而限定了y的范围，y=3,8,13,18,23,28······代入方程，y=3才能让x是正整数,此时，x=4。因此这个方程的解为：x=4,y=3。

此外，这个方程还可以限定x的范围，我们可以：

三看，未知数的系数和常数项这三个数有没有公共因子(公约数)——利用整除去求解。5，4和32，这三个数，我们发现4和32这两个数有公共因子4，这两项都可以被4整除，那么5x这一项也必能被4整除。又由于5不能被4整除，所以x一定能被4整除。X的范围也限定了。x=4,8,······，x只能等于4，才能让y是正整数，此时y=3.因此这个方程的解为：x=4,y=3。

2.方法总结

在正整数范围里求二元一次不定方程的解。一看x和y前面的系数有没有偶数——限定未知数的奇偶性;二看x和y前面的系数有没有5的倍数——尾数(个位数)法限定未知数的范围;三看，未知数的系数和常数项这三个数有没有公共因子(公约数)——利用整除法进一步去限定未知数的范围。

三、方法应用

例1.校学生会组织篮球和足球比赛，需要篮球和足球总数不超过20个，篮球80元一个，足球50元一个，买两种球共花去2420元，问，买篮球多少个?

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