解放军文职招聘考试※18狭义相对论习题精选（解析版）

 ※18狭义相对论习题精选（解析版）
卢宗长
一、 狭义相对论的两条基本假设
1．经典的相对性原理—速度的合成法则
2．光的传播与经典的速度合成法则存在矛盾，狭义相对论提出的两条基本假设是：相对性原理与光速不变原理。
3.“事件”概念是理解同时的相对性的基础，“地面上认为同时的两个事件，对于沿着两个事件发生地的连线的观察者来说，更靠前面的那个事件发生在先”要记住这个结论。
二、时间和空间的相对性
1.长度的相对性：
2.时间的相对性：
三、狭义相对论的其它三个结论
1.相对论速度变换公式：
2．相对论质量公式：
3.质能方程：
4.相对论动能 ：
一．例题
1.S系中平面上一个静止的圆的面积为12在系测得该圆面积为多少？已知系在时与S系坐标轴重合，以-0.8c的速度沿公共轴运动。
  解：在系中观测此圆时，与平行方向上的线度将收缩为
   而与垂直方向上的线度不变，仍为2R，所以测得的面积为（椭圆面积）：
  （式中a、b分别表示椭圆的长半轴和短半轴）
2.S系中记录到两事件空间间隔，时间间隔，而系中记录，求系相对s系的速度。
解：设相对速度为v，在S系中记录到两事件的时空坐标分别为；系中记录到两事件的时空坐标分别为及。    由洛仑兹变换得：   得：

根据题意得：

3. 一根米尺静止在系中，和轴成角，如果S系中测得该米尺与ox轴成角，系相对s系的速度是多少？s系中测得米尺长度是多少？
   解：如图，由题意知，在系中米尺在及方向上的投影的长度为：    其中   
  设在S系中测得米尺长为l,则米尺在ox,oy方向上的投影的长度为：

因为尺在oy方向上的投影长度不变即：  于是有
     由S系测得尺在ox方向的投影的长度为：
  在S系中测得米尺的长度为：

4.宇宙飞船相对于地面以速度v作匀速直线飞行，某一时该飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过（飞船上的钟）时间后，被尾部的接收器收到，则飞船的固有长度是多少？
  解：飞船的固有长度就是相对于飞船静止的观察者测得的飞船长度。
由题意知，飞船的固有长度为
5.一立方体，沿其一棱的方向以速度v运动试证其体积和密度为和。式中为静止质量和体积，。
  证明：设立方体静止时的长、宽、高分别以表示；当立方体沿其一棱方向以速度相对于观察者测得立方体的长、宽、高分别为：
    相应的体积为：
     以v运动的立方体，其质量为          于是密度：

6.一火箭的固有长度L，相对于地面作匀速直线运动的速度为，火箭有一个人从火箭的后端向火箭前端的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为的子弹，问在火箭上测得子弹从射出到击中靶子的时间间隔是多少？
   解：由题意火箭上发射的子弹从发射到击中靶子所前进的距离为火箭的固有长度L，于是子弹前进L距离所需时间就是所求的时间间隔
即   
7.一个0.8c速度运动的粒子，飞行了3m后衰变，该粒子存在了多长时间？与该粒子一起运动的组系中来测量，这粒子衰变前存在了多长了时间？
  解：设与粒子一起运动的坐标系为系，系相对于S系运动速度伪0.8C。
  由题意知，该粒子存在的时间（S系中测量）就是该粒子在S系中飞行3m所需的时间。
   即        如果在系中来测量,则粒子衰变前存在的时间(固有时间)为：
8.在6000m的高层大气中产生了一个具有平均寿命的介子，该介子以0.998c的速度向地球运动，它衰变前能否到达地面？
  解：考虑相对论效应，以地球为参考系，介子的平均寿命：
     其中  
 则介子的平均飞行距离为：   所以介子的飞行距离大于高度（60000m），它衰变以前能到达地面。
9.一艘宇宙飞船的船身固有长度为，相对于地面以 （c为真空中光速）的速度在一观测站的上空飞过。
（1）观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？
（2）宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？
   解：（1）观测站测得飞船船身的长度为：
   则所求的时间为固有时间
    
（2）宇航员测得船身通过观测站的时间间隔
  .
10.在惯性系S中，有两事件发生于同一地点且第二事件比第一事件晚发生秒钟；而在另一惯性系中，观测第二事件比第一事件晚发生秒钟。那么在系中发生两事件的地点之间的距离是多少？
   解：令系与S系的相对速度为v，有
  由此得 
那么在系中测得两件事之间的距离为：由洛仑兹变换得：
  由此得    其中
             式中负号表示   
11.S惯性系中观测者记录到两事件的时间间隔分别是和，为了使两事件对相对于s系沿正x方向匀速运动的系来说是同时发生的,系必需相对于s系以多大的速度运动？
   证明：设两系的相对速度为v，根据洛仑兹变换：
   由题意：
 
12.一个粒子总能量为，动量为它的静止能量是多少？
   解：由相对论的动量与能量关系式：  得：
     由此得 
13.一个电子从静止加速导0.1c的速度需要作多少功？速度从0.9c加速到0.99c又要作多少功？
   解：根据功能原理，要作的功   
根据相对论能量公式        
根据相对论质量公式        
(1)当    
则  
（采用经典功能公式时仍可近似采用经典公式计算）
（2）当      时

       
14.设某微观粒子的总能量是它静止能量的k倍，问其运动速度的大小是多少？
   解：根据相对论的动量与能量关系：
’

所以：
由此得 
15.（1）在速度v满足什么条件下粒子的动量等于非相对论动量的两倍；
（2）v满足什么条件的粒子的动能等于它的静止能量。
解：（1）由题意得：
     由此得     
    (2)根据质能关系式：   有
      
 由题意知：    于是 
又   
所以 
由此得 
16.在参照系S中，有两个静止质量都是的粒子A和B，分别以速度v沿同一直线相向运动，相碰后合在一起成为一个粒子，求其静止质量？
  解：由动量守恒定律有：

因为 
所以     合成粒子是静止的
即      （M表示合成粒子的静止质量）
由能量守恒定律得：

故  
17.一匀质矩形薄板，在它静止时测得其长为a，宽为b，质量为，由此可算出其面积密度为。假定该薄板沿其长度方向以接近光速的速度v作匀速直线运动，此时再测算该矩形薄板的面积密度则为多少？
   解：当薄板以速度v沿其长度方向匀速直线运动时，相对于板静止的观察者测得该板的长为,宽，此时板的质量
       
则该板的面积密度为：
   
18.在实验室中观察到宇宙射线一介子的寿命是它的固有寿命的8倍，求该介子的动能。（已知该介子的静止质量为）
  解：由 
相对论动能：

19．1905年爱因斯坦提出了狭义相对论，狭义相对论的出发点是以两条基本假设为前提的，这两条基本假设是    D              
A．同时的绝对性与同时的相对性          
B．运动的时钟变慢与运动的尺子缩短
C．时间间隔的绝对性与空间距离的绝对性  
D．相对性原理与光速不变原理
20.地面上A、B两个事件同时发生。对于坐在火箭中沿两个事件发生地点连线飞行的人来说，哪个事件先发生？

 
解答：地面在向火箭运动，从闪光发生到两闪光相遇，线段中点向火箭方向了一段距离，因此闪光B传播的距离比闪光A长些，既然两个闪光的光速相同，一定是闪光B发出的早一些。
21.一列火车以速度相对地面运动，如果地面上的人测得，某光源发出的闪光同时到达车厢的前壁和后壁，那么按照火车上人的测量，闪光先到达前壁还是后壁？火车上的人怎样解释自己的结果？
解答：火车上的人测得，闪光先到达前壁，由于地面上的人测得闪光同时到达前后两壁，而在光向前后两壁传播的过程中，火车要向前运动一段距离，所以光源发光的位置，一定离前壁较近，这个个事实对车上、车下的人都是一样的。在车上的人看来既然发光点离前壁较近，各方向的光速又是一样的，当然闪光先到达前壁。

 

 22.A、B、C三个完全相同的时钟，A放在地面上，B、C分别放在两个火箭上，以和朝同一方向飞行，,D地面上的观察者认为哪个时钟走得最慢？哪个走得最快？
解答：地面上的观察者认为C钟走得最慢，因为它相对于观察者的速度最大，根据公式可知，相对于观察者的速度越大，其上时间进程越慢，地面钟=0，它记录的时间间隔最大，即地面钟走得最快。
23.飞船以 （32400km/h）的速率相对地面飞行。飞船上的钟走了 5 秒，问用地面上的钟测量经过了几秒？
解：
24.以8km/s的速度运行的人造卫星上，一只完好的手表走过了1min,地面上的人认为它走过这1 min“实际”上花了多少时间？
答：
25.（08江苏卷）惯性系S中有一边长为l的正方形（如图A所示），从相对S系沿x方向以接近光速匀速飞行器上测得该正方形的图象是   ▲   .( C )

26.一支静止时长30ｍ的火箭以３ｋｍ／ｓ的速度从观察者身旁掠过，观察者测得火箭的长度应为多少？火箭上的人测得的长度是多少？如果火箭的速度为光速的二分之一呢？
解答：在火箭上测量认为火箭是静止的，测得的长度仍为
在两种情况下，地面观察者测得的长度分别为

27.( 08海南卷)设宇宙射线粒子的能量是其静止能量的k倍．则粒子运动时的质量等于其静止质量的           倍，粒子运动速度是光速的             (k,)

28.两个电子相向运动，每个电子对于实验室的速度都是C，它们的相对速度是多少？在实验室中观测，每个电子的质量是多少？本题和下题计算结果中的光速C和电子的静质量me不必代入数值．
解：设在实验室中观察，甲电子向右运动，乙电子向左运动、若以乙电子为“静止”参考系，即O系，实验室（记为O’系）就以C的速度向右运动，即O’系相对于O系的速度为v =C （图-4）．甲电子相对于O’系的速度为u’=C．这样，甲电子相对于乙电子的速度就是在O系中观测到的甲电子的速度u，根据相对论的速度合成公式，这个速度是
       u=
             甲        u             
·
 实验室
                          
在实验室中观测，每个电子的质量是:
          m＂===
29.上题中，在实验室观测，两个电子的总动能是多少？以一个电子为参考系，两个电子的总动能又是多少？计算时由电子运动时的能量减去静止时的能量就得到电子的动能．
解：在实验室观测，两个电子的总动能为:
              Ek1 = 2(m＇c2-mec2) = 2×() =1.3mec2
相对于乙电子，甲电子的质量是
        = =4.56
                                                                                     
                                       
    因此，以乙电子为参考系，甲电子的动能为:
                   Ek2＝m＇c2-mec2=4.56 mec2．
物理学的研究常常要利用高速粒子的相互撞击．通过这个习题我们看到，为使相互碰撞的粒子达到一定的相对速度，同时加速两束粒子，使它们迎头相撞，这样所需的能量要比只加速一束粒子，用它去轰击静止的靶所需的能量少，因而在技术上容易实现．这就是为什么有时候人们使用粒子对撞机，而不用普通加速器的原因．
30.正负电子对撞机中，电子和正电子以速度0.90相向飞行，如图（下图）所示它们之间相对速度为多少？
解  取对撞机为S系，向右运动的电子为系，于是有
为正电子在S系中的速率，为系相对S系的速率，则正负电子相对速度为

 

 

 

31. 设一质子以速度运动。求其总能量、动能和动量。
解  从表16-1知道，质子的静能量为，所以，质子的
总能量为

　质子的动能为

　质子的动量

    32.一个原来静止的电子，经过 100 V的电压加速后它的动能是多少？质量改变了百分之几？速度是多少？这时能不能使用公式Ek=？
      解：加速后电子的动能是
                      Ek= qU =1.6×10-19×100J =1.6×10-17J．
因为:    Ek=mc2-mec2
所以:   m-me=     ;      
所以:    2.0×10-4
        (若将c =2.99792458×108代入上式,得1.95631×10-4 )
      即质量仅改变了0.02%．这说明在100 V电压加速后，电子的速度与光速相比仍然很小，因此可以使用Ek＝得电子的速度
                    V = ==5929994.53 5.9×106m/s．
这个速度虽然达到了百万米每秒的数量级，但仅为光速的2%．
(由:m =及, 可精确得解
v =5929124.66.这比上面的经典解略小.)
33．（09江苏卷）（1）如图甲所示，强强乘电梯速度为0.9（为光速）的宇宙飞船追赶正前方的壮壮，壮壮的飞行速度为0.5，强强向壮壮发出一束光进行联络，则壮壮观测到该光束的传播速度为            。（填写选项前的字母）

（A）0.4c           (B)0.5c
 (C)0.9c             (D)1.0c