解放军文职招聘考试多元函数微分学章节复习

 多元函数微分学章节复习
 
本章教学要求：
1．知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域。
2．熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法。
3．熟练掌握复合函数一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数的偏导数。
4．能熟练地求全微分。
5．了解二元函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题。
 
例题讲解：
一、填空题
1．函数 的定义域是___________________________。
2．如果f(x＋y，x－y)＝xy，则f(x，y)＝______________。
3．设z＝ln(xy)，则dz＝________________。
4．二元函数 的定义域是________________________。
5．设 ，则dz＝________________。
6．设z＝(1＋xy)x，则 ＝_____________。
7．设f(x，y)＝ln(x＋exy)，则 ＝________________。
8．函数 的定义域是________________________。
9．函数 的定义域是________________________。
10．设z＝f(u，v)，u＝xy， ，则 ＝________________。
11．设ez－xyz＝0，则 ＝________________。

 

 

 

 分析与解答：
 1．函数 的定义域是___________________________。

1．要使函数有意义，必须： ，
即
因此，该函数的定义域是D＝{(x，y)；x2＋y2≠1，| y |≤| x |，x≠0}

2．如果f(x＋y，x－y)＝xy，则f(x，y)＝______________。

2．令 ，则 ，
即有 ，
故 

3．设z＝ln(xy)，则dz＝________________。

3． ， ， 故 

4．二元函数 的定义域是________________________。
4．要使函数有意义，必须： ，即
因此，该函数的定义域是D＝{(x，y)；－2≤x＋y≤2，x－y＞0，x－y≠1}

5．设 ，则dz＝________________。

5． ， ，
故
6．设z＝(1＋xy)x，则 ＝_____________。
6．相对y 来说，x 是常数，故z 可以分解为：z＝ux，u＝1＋xy，则

 

7．设f(x，y)＝ln(x＋exy)，则 ＝________________。
7．

8．函数 的定义域是________________________。
8．要使函数有意义，必须： ，即定义域为：{(x，y)；y＞0，x＋y＞0}

9．函数 的定义域是________________________。
9．要使函数有意义，必须： ，即
故该函数的定义域为：{(x，y)；x＋y＞0，x2＋y2＜1＝

10．设z＝f(u，v)，u＝xy， ，则 ＝________________。
10．

 

11．设ez－xyz＝0，则 ＝________________。
11．设 ，
则 ， ，  故

 

 

 

 

    二、单项选择题
1．设z＝(2x＋1)3y＋2，则 （    ）。
  A. (3y＋2)(2x＋1)3y＋1       B. 2(3y＋2)(2x＋1)3y＋1
C. (2x＋1)3y＋2ln(2x＋1)     D. 3(2x＋1)3y＋2ln(2x＋1)
2．设z＝ln(x＋y)，则 （    ）。
  A. －dx＋dy     B. dx＋dy     C. dx－dy     D. －dx－dy
3．设 ，则 （    ）。
  A.        B.
C.        D.
4．下列说法正确的是（    ）。
A. 可微函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有
B. 函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有
C. 若 ，则函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值
D. 若 或 有一个不存在，则函数f(x，y)在点（x0，y0）处一定没有极值
5．设z＝uv，x＝u＋v，y＝u－v，若把 z 看作x，y的函数，则 （    ）。
  A.         B.         C. 2x        D. x

    分析与解答：
1．对y来说，z是y的指数函数，可分解为：z＝(2x＋1)u，u＝3y＋2，由复合函数求导法则，得 ，
即D正确。
2． ，
，
即B正确。
3．，即D正确。
4．函数取得极值的点可能是不可导点，因此B不正确；驻点未必是极值点，因此C也不正确；偏导数是否存在，与函数不取得极值没有必然的关系，故D也不正确。总之，只有A才正确。
5．由题设， ，
故 ，即A正确。
三、计算题
1．设z＝ln(u＋v2)， ，v＝xy，求：
解法一：
∵ ，

∴
 
解法二：
因为
所以 ，

2．设函数z＝f(x，y)由方程 所确定，求
解法一：
设
则   ，
    
故   
解法二：
方程两边对x求偏导数，得：
即    ，
故  
方程两边对y求偏导数，得：
即    ，故  
3．设 ，求
解：
设z＝f(u，v)，u＝x2＋y，
则 
 
4．表面积为S 的长方体箱子中（箱子无盖），求体积最大者的边长。
解：
设长方体的边长分别为x，y，z，于是长方体的体积为 V＝xyz
已知 xy＋2(xz＋yz)＝S
又设 F(x，y，z，λ)＝xyz＋λ(xy＋2xz＋2yz－S)
求 F(x，y，z，λ) 对各变量的偏导数，并令其为零，得方程组：
           
由 (1)×x－(2)×y，得
由于λ，z不能为零，故得 x－y＝0，x＝y
由 (2)×y－(3)×z，得 ，y＝2z
将 x＝y＝2z 代入（4），得
于是
由于只有这一个驻点，且已知该问题一定存在最大值，故此驻点即为最大值点，即当边长分别为 时，体积最大。
    5．直角平行六面体的长、宽、高之和为定数a，求其最大体积。
解：
设平行六面体的长、宽、高分别为x、y、z
依题意   x＋y＋z＝a
   V＝xyz
又设F(x，y，z，λ)＝xyz＋λ(x＋y＋z－a)
令 
解得唯一驻点 ，为最大值点，即当长、宽、高均为 时，其体积最大，这时，