解放军文职招聘考试第七章 刚体力学

 第七章 刚体力学
刚体：在任何情况下，形状大小都不变的力学研究对象。
运动物体可视为刚体的条件：物体的大小形状必须考虑，但形变可以不计。
刚体的简化模型：各质点间距离始终保持不变的质点系。
一、课时安排：10学时
二、教学目的与要求：
1、了解刚体运动的描述，掌握角速度、角加速度的概念及定轴转动的运动学基本公式；
2、会计算刚体的质心、掌握刚体的动量和刚体的质心运动定理；
3、熟练掌握刚体定轴转动的转动定律、动能定理和转动惯量的概念及计算方法；
4、了解刚体平面平行运动问题的研究方法；
5、掌握刚体的平衡。了解刚体的自转与旋进。
三、教学重点与难点：
重点：
刚体运动的描述方法；刚体定轴转动的运动学与动力学；刚体的平衡。
难点：
转动惯量的理解和计算；学生学习思维方式的转变；刚体转动的角动量，应用刚体力学有关规律解决实际问题。
教材分析：（分为6个单元）
1、刚体运动学（§7—1）；
2、刚体平动的动力学（§7—2）；
3、刚体定轴转动动力学（§7—3、§7—4）是全章的重点；
4、刚体的平面平行动力学（§7—5）；
5、刚体的平衡（静力学）（§7—6）;
6、刚体的自转与旋进（7—7）
第七章 刚体力学
§7.1刚体运动的描述
一、刚体的平动 (动画)
1．定义：在运动过程中，如果刚体上任一条直线在各个时刻的位置都相互平行.
2．平动的特点：刚体中各个质元的速度和加速度都相同.
证明：如图在刚体上任取两个质元ij以o为参考点
为恒矢量，
    同理：   所以：
3．刚体作平动的描述
据平动的特点，只要知道刚体上任一点的运动，就可掌握整个刚体的运动情况.∴平动刚体→质点，需三个坐标（x,y,z）描述.
二、刚体绕固定轴的转动（定轴转动）（动画）
1、定义：刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动.且圆心在该直线上，该直线---转轴，在选定的参考系中固定不动.
2、定轴转动的特点：刚体上所有质元都以相同的角速度绕转轴转动（或在相同的时间内，所有质元都转过相同的角度）
3、刚体定轴转动的描述，只要用角坐标：θ
1）角坐标：     θ=θ(t)    单位：rad
角位移： 的正负：面对z轴看   逆时针方向θ 取“+”
                                 逆时针方向θ 取“-”
2）角速度：ω=ω(t)  方向沿转轴
定义：        
沿z轴看：职逆时针转，ω取“+”； 顺时针转 ，ω取“-”。
单位：rad/s              量纲式：dim[ω]=
3）角加速度β(t)
定义：    
β与ω    同号：  加速转动；     异号：  减速转动。
4、定轴转动运动学
1）由ω→θ      
积分限为 ：       
积分得:       
即：
若ω= 恒量 则： 
2）由β(t) →ω(t)

若β=恒量 ，则：   
5、定轴转动刚体上各点的线速度，加速度与ω、β的关系.
（1）速度：，  
（2）角加速度

即
三、角速度矢量 （动画）
定轴转动中用ω的正负即可表示转动方向，实际中的转轴方位也常改变，仅用“+”“-”不足以表示转动方向，所以需用角速度矢量：
1、定义：  的方向沿转轴且和刚体的旋转运动组成右手螺旋系统.
是矢量，具有大小和方向，相加服从平行四边形法则.
设刚体绕OA转动的同时又绕OA＇转动，则刚体的合成转动绕转动
           
2、线速度与角速度的关系：
 所决定的平面     
3、角加速度:
定义:       
在直角坐标系中的矢量式      
                            
                            
对定轴转动,取z轴为转动轴，则     
  
∴定轴转动中的、，即这里的、，是、分别在z轴上的投影.
四、刚体的平面运动（动画）
1、定义：刚体上各点均在与一固定平面平行的各平面内平行.
2、平面平行运动的特点：刚体内垂直于固定平面的直线上的各点运动情况都相同.
3、刚体作平面平行运动的描述：
(1)根据刚体平面运动的特点：可利用与固定平面平行的平面在刚体内截出一平面图形.此平面图形位置确定了确定了刚体的位置
描述平面运动需用三个独立变量.确定基点B (xB，yB)和绕过基点轴的转动  自由度为3
          
          
  或      
          
          
(2)平面运动刚体随基点平动+绕过基点轴的转动
(3)平面运动刚体上任一点的速度：
        
    即                       
(4) 圆柱体的无滑滚动
 无滑滚动：滚动圆柱体边缘上各点与支承面接触的瞬间，与支承面无相对滑动.
选择圆柱体中心轴上的c点为基点:为转动角速度，为半径，
 柱体边缘上任一点的速度
                       
与支承面接触点：
          
P点（接触点）的向y轴上投影：
            此即圆柱体作无滑滚动的条件
柱（轮）缘上任一点的空间运动轨迹为摆线旋轮线（或圆滚线）
例题:[教材P198(例题1)]
五、刚体的定点转动
刚体在动动过程中,其上有一点始终保持不动.描述它的运动需要3个独立坐标。
自由度为3
六、刚体的自由运动：
需6个独立坐标来确定其位置，自由度为6。
例题：已知电机飞轮半径为r=20cm,在t时间内的角位移为： （：； t： s）。求t=2S时：（1）飞轮的角速度和角加速度；（2）飞轮边缘上任一点的线速度和加速度的大小。
解 :（1）  
          
    （3） 
          
          
          

 

§7.2 刚体的动量和质心运动定理
一、刚体的质心
1、质量不连续分布： 作为一种特殊的质点组
               
刚体的质心相对于刚体有一固定的位置
2、质量连续分布
              
              
             
     对匀质刚体    
                        
3、计算质心的三种方法
（1）根据对称性求质心的坐标
对匀质刚体且有对称轴，质心必定在此对称轴上.
对非匀质刚体 ：若质量分布和几何形状具有相同的对称轴，则质心也在该轴上，若有几条这样的轴则质心在对称轴的的交点上.
例：匀质长方体，质心在其对称中心，密度随r变化的球形刚体质心在球心上。
（2）根据刚体质心与各组成部分的质心之间的关系求质心
                        
（3）据公式直接计算质心
例题1：求半径为R的均质球体的质心。
解：以球心为坐标原点建立坐标系，由对称性知，质心必定在对称轴（z轴）上。将半球划分为半径为r、厚为dz的薄圆片。
积分限为：  z=0  z=R 
   
 

例题2：已知图中物体由均匀等厚的两个半径不同的圆板和刚性细杆组成,三个部分的质量均为M,尺寸如图所示.试求质心的位置.
解:
因为物体均匀等厚,且具有对称性,,所以质心在其几何对称轴上,建立图示的坐标系:
 
 。

二、刚体的动量与质心运动定理
1、刚体的动量： 特殊的质点组
2、动量守恒定律
若刚体所受外力矢量和为零，即,则=恒量
3、刚体的质心运动定理

例题1:教材P201[例1]
解:
   

例题2:如图所示:长为L的匀质杆在力F和光滑地面支持力的作用下保持平衡,当外力撤消后,杆子倒下.试求杆子A端的运动方程。
解：
建立图示的坐标系：y轴过杆子的质心。外力撤去后。杆子受力为：
     所以   ； 
 因为   所以  
    消去得：

 

 

 

 

§7.3刚体定轴转动的角动量 转动惯量
一、刚体定轴转动对轴上一点的角动量
     仅讨论最简单的刚体：由两个质量相等的质点用一根轻质刚性杆连接。
1.刚体绕过轻杆中心且垂直于轻杆的轴转动
      
      
   沿z轴正向  .不沿z轴
大小：
 　
           
2.刚体绕杆中心但不垂直于杆的轴转动
     　　不沿z轴方向
         
         
3.讨论：动量总沿速度方向.而刚体绕定轴转动时对轴上的一点的方向不一定沿角速度方向.即与不一定同向，可以成一定角度.
二、刚体对一定转轴的转动惯量
1.刚体对一定转轴的角动量
   质点组：
对刚体，其上各质元绕转轴以相同的作圆周运动

即　
2.刚体对一定转轴的转动惯量 （描述刚体转动惯性的量）
(1)定义：  　  

        单位：　　　　量纲：
(2)的大小与下列因素有关：
①．刚体的质量ｍ；②．刚体的质量分布（ｍ一定时） ；③．转轴的位置。
(4).刚体对转轴的转动惯量的计算
①.质量不连续分布　　     ──到z轴的距离
②.质量连续分布            
  　　　　　　     
若         则
例1:计算、质量为M、半径为R的匀质圆盘对垂直于盘面且过盘心的轴的转动惯量。
解：
    
例2：教材P205表7.1

3.平行轴定理和垂直轴定理
1）平行轴定理
    

即     
例3:教材P206 例2

(2)垂直轴定理：适用条件 匀质薄板
         
                      
                 ∴  
例4:教材P206 例3
例5: 计算匀质薄圆板对其直径的转动惯量。

4.转动惯量本身的特性
(1)是刚体自身的特性与它的质量、质量分布、转轴位置有关，与刚体运动与否无关
(2)转动惯量具有可加性
(3）刚体对某一轴线的I满足平行轴定理
(4)若刚体可视为无限薄的薄板，则满足垂直轴定理。
例6：教材P231习题7.3.2
  ,,,,求刚体对过悬挂点且垂直于盘面的轴的转动惯量。
解:

  =1.382+24.578=25.96 kgm2 .

三、刚体定轴转动的角动量定理和转动定理
1.角动量定理
质点系对轴的角动量定理：
刚体对轴的角动量：     
            或 
物理意义：刚体对轴的角动量之增量等于对该轴之外力矩的冲量矩之代数和或刚体对轴的角动量对时间的变化率等于对该轴之外力矩的代数和.
2、定轴转动刚体的角动量守恒定律
若，则 （动画或演示）
物理意义：作用在刚体上的外力对z轴的力矩的代数和为零时，刚体对z轴的角动量守恒。
3.刚体定轴转动的转动定理
(1)定理：∵给定刚体对给定轴之为定值
                    ∴
即   
物理意义：定轴转动的刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积在数值上等于外力对此轴的合外力矩.
(2)定理的实验验证（结合普通物理实验1自学）
原理详见教材P207—208。
(3)关于定律的说明
①是瞬时关系：与同时存在，同时消失，同方向.（与类似）
② 
与同向    
与反向     
③ 定理只适用于不变的情况
(4)应用转动定理解题的基本方法（隔离体法）一般步骤为：
1．将运动系统用假想平面分成若干个作定轴转动的刚体和质点的隔离体.分别应用不同定理解题
2．分析各隔离体的受力情况，作出受力图
3．建立适当的坐标系
4．建立动力学方程 ( 转动刚体根据转动定理列方程  质点根据牛二定律列方程)
5．建立各个隔离体之间的动力学和运动学关系
6．由联立方程求解
例题: 如图所示是一阿特武德机，绳子一端悬挂一重物m1=500g，另一端悬挂一重物m2=460g，半径r=5.0cm 的滑轮绕水平光滑轴转动，自静止开始释放重物、并测得m1在5.0s内下降75cm，试由这些数据确定定滑轮的转动惯量。（不计绳的质量及伸长，且绳与滑轮之间无相对滑动）
解：设 m1向下、m2向上的加速度大小为a ，左绳的张力为T1，右绳的张力为T2，则有：
                                  
由此可解得：=1.4×10－2(kgm2) 

 

 

 

 

 

 

7.4刚体定轴转动的动能定理
一.力矩的功和功率
1.力矩的功
     
∴   
即
若为恒力矩，则

2.力矩的功率 
二、刚体定轴转动的动能定理
1.刚体的转动的动能
将物体分为若干质元：        

        
2.刚体定轴转动的动能定理
      质点组    刚体是特殊的质点组
  刚体内一切内力做功之和为零 . 即
(2)动能定理
                    
  物理意义：刚体绕定轴转动时,转动动能的增量等于刚体所受外力矩做功的代数和.
三、刚体的重力势能
     
          
    物理意义：刚体的重力势能决定于刚体重心距零势点的高度（在刚体重心处的一点集中了刚体的全部质量的一个质点的重力势能）。

例题1：．转动惯量为I的匀质圆盘绕一过盘心并垂直于盘面的固定轴转动，圆盘所受阻力矩与圆盘的转动角速度成正比，即M=－κω（κ为常数），t=0时，圆盘的角速度为ω0 。试求：（1）角速度从ω0变到ω0/2所需的时间；
（2）在此时间内阻力矩所做的功。
解： 一般思路

 

由转动定律得
                     ∴               
    积分得：                    
         当    时          
   阻力矩作功为 ：
例题：质量为M长为L的匀质细棒可绕点O在竖直平面内，无摩擦地转动。现将棒水平放置不动后自由释放，当杆转到竖直位置杆的角速度。
解：
由                
§7.5刚体平面运动的动力学
课时安排：1学时
教学目的与要求：
1、学会建立刚体平面运动的动力学方程，并用于解决简单的平面运动动力学问题；
2、了解刚体平面运动的动能定理；
3、理解作用于刚体上的力所产生的效果。
教学重点：
刚体平面运动的动力学方程及应用。
教学难点：
平面运动自身的复杂性，它要综合运用质心运动定理、刚体运动学等知识。

本节研究的内容：①刚体平面运动的基本动力学方程；
②能量方程；③刚体的二维平动和滚动。
一、刚体平面运动的基本动力学方程
   平面运动刚体随基点平动+绕过基点轴的转动，质心基点
建立惯性坐标系oxyz,oxy平面与刚体平面运动时提到的固定平面平行
质心系C—坐标轴O—xyz平行
               (质心运动)
                
绕质心轴的转动：           即         （7.5.4）
式（7.5.4） 刚体对质心轴的转动定理
   ：刚体对质心轴的转动惯量；   ：作用与刚体上的力对质心轴的合力矩
   ：角加速度
例题.如图所示,一长为L质量为M的匀质细棒AB,用细线拴住其两端,水平悬于空中,若将A端悬线剪断,试求剪断的瞬间杆的质心的加速度和B端悬线对杆的拉力.
解:在剪断的瞬间
平动:   
转动:        解方程得:
二、作用于刚体上的力  (滑移矢量)
1．作用于刚体上的力的两种效果
1）两种效果：①使刚体的质心产生加速度；②使刚体绕质心轴转动产生角加速度
2）力是滑移矢量：作用于刚体上的力可沿力的作用线滑移而不改作用效果
作用于刚体上力的三要素：大小、方向、作用线
若合力的作用线过刚体的质心且刚体最初静止，则合力仅使刚体平动，产生质心加速度
2．力偶和力偶矩
（1）力偶：两个大小相等、方向相反，不在同一直线上的力组成力偶
   力偶臂   两力之间的垂直距离d
对刚体质心平动()无影响 ,只对绕质心轴的转动有影响
   
（2）力偶矩  
作用于刚体上的力偶的作用,由力偶矩可作出完全的描述
（3）任何一个作用于刚体上的力一个通过质心的力和力偶.该力的大小与方向与原力相同.       力偶矩=原力对质心轴的力矩
例题：教材P218[例1]
（4）刚体的二维平动：
           
例题：教材P P218[例2]
三、刚体平面运动的动能定理
按柯尼希定理：可求刚体平面运动=随质心平动动能+绕质心轴转动的动能
        
动能定理：
例题：教材P P219[例3]
例题：如图所示，半径为R，质量为M的均质圆柱放在粗糙的桌面上，柱体上绕有不计质量的细绳，绳的一端通过不计质量的定滑轮吊一质量为m的重物,求:
①重物下落的加速度。
②绳中的张力。
③圆柱体和桌面间摩擦力的大小，方向。
解：以地面为参考系，M、m为研究对象，受力如图：
mg－T=ma           
T－f=MaC            
(T－f)R=          
aC=Rβ   a=2aC                        
解联立方程得： 
          
“－”表示f的实际方向与假设方向相反。
答：（略）

 

§7.6刚体的平衡
    本节仅讨论刚体所受各个力在同一平面内的情况即刚体受平面力系作用的情形.其结论也适用于刚体作匀速直线运动的平动
一、刚体的平衡方程
 1.平衡方程：在参考系中建立直角坐标系O—xyz ,令O—xy平面与各力作用平面重合，据此约定各力仅有沿x、y轴的分量，力矩则相对于选择的轴而言
要刚体静止 是必要条件
   z轴垂直于力的作用平面
   另一方面：原来静止的刚体，若，则.若则刚体对过质心的轴的则.于是刚体均为常数
   ∴刚体的平衡方程为：       分量式：
2.平衡方程的另一种形式
（1）∵刚体平衡时，各个力对任意轴的力矩之和为零.∴可选择两参考点O和O′，得出对OZ、轴力矩平衡方程再加上各个力的矢量和沿x轴上的投影为0，可构成另一组平衡方程
                       
     说明：不可与X轴正交
     如果且沿，则：
                     .
      但刚体不能处于平衡态，∴不可与OX轴上交
（2）在力的平面内选择不在同一直线上的三个参考点O、、，写出对其三个转动轴的力矩平衡方程：
              
O、、不共线是刚体平衡的充分条件。
例题1.教材P224—225[例题1]
例题2.一长为5m的匀质杆，质量为M，靠在光滑的竖直墙上，水平地面是粗糙的，在滑动发生前，梯脚与墙脚的可能最大距离为4m，试求：（1）梯子与地面间的静摩擦系数；（2）当梯子与墙脚的距离为3m时，一个质量为5M的人（可视为质点）能沿梯子向上行驶的最大距离L0为多少？
解：建立图示的坐标系，
（1）平衡时       
杆子受力如图所示：
解方程组得：
（2）
解方程组得：
二、杆的受力特点：在下列三个条件之下可认为仅受两力而平衡
      1杆件两端与其他物体的连接是光滑铰链连接
      2负荷对杆的作用力过节点（孔销中心）
      3杆的自重与负荷相比很小，可不计，若三个条件都能满足，则杆仅受两个通过节点的力，此力必在二节点的直线上，对直杆则两力沿杆的轴线（纵轴线）
§7.7自旋与旋进
刚体的定点转动：运动的刚体上仅有一点固定不动。
讨论这类问题的依据：质心运动定理，质点系对参考点或质心的角动量定理
一、常平架回旋仪
质量分布与几何形状有共同对称轴的刚体绕该对称轴转动时，刚体对轴上一点的角动量与角速度方向相同。又刚体对轴上一点的角动量在轴上的投影就是对轴的角动量，即轴上一点的角动量的大小等于——对转轴的角动量 ， z轴为对称轴。刚体对轴上一点的角动量可表示为：
        
若不受外力矩作用 则=常矢量（大小（即转动快慢）不变，方向也不变即在转轴方向不变）
常平架回转仪：利用这一原理，结构及装置介绍
常平架回转仪的应用：由于其转轴的方向不变，常将其装在导弹、飞机、坦克或舰船中。以常回转仪作为标准，可随时校正导弹等的方向，以便自动调整，它已成为自动驾驶仪的重要组成部份。
二、回转仪的旋进（进动）
1.回转仪介绍
2.刚体对一点的角动量定理：   
3.回转仪进动的解释

 

自旋角动量一定时，进动角速度

 

 

 

 

 

 

 

单元练习题
一、选择题
1．一个转动惯量为I的圆盘绕一定轴转动，起初角速度为ω0，设它所受阻力矩与转动角速度成正比M=－kω（k为常数）当它的角速度从ω0变为ω0/2 时，阻力矩所作的功为（     ）
A．I/4          B．－3I/8
C．－I/4        D．3I/8
2．匀质细杆OA，质量为M，长度为L，可绕O点在坚直面内转动。有一质量为m的子弹以水平速度V0击中杆的A端并嵌入其内。那么碰撞后A的速度大小为（      ）
A．12mV0/(12m+M)                B．3mV0/(3m+M)    
C．mV0/(m+M)                     D．
3．一匀质实心圆球的外径为一匀质实心圆柱外径的二倍，它们的质量相等，使它们自同一斜面上同一高度同时滚下（设为纯滚动），则（    ）
A．圆球先到地面         B．圆柱先到地面  
C．同时到达地面         D．哪个先到地面与出发点到地面的高度有关
4．二人抬着一质量为m的匀质直棒，着力点在棒的两端，使棒保持水平，若一人不慎突然滑脱，则在这一瞬间，另一人受到的力为（    ）
A．mg/4            B．mg/2        C．3mg/4        D．mg
5一滑冰者，以动能I0ω02/2开始转动，当他向内收缩双臂时他的转动惯量从I0减至I0/3，则其角速度变为 （      ）
A．ω0/3          B．ω0           C．ω0         D．3ω0
6．长为L,质量为M的均质杆，放在光滑水平面上，其一端为固定轴，一质量为m、速率为V的子弹，在水平面内沿和棒垂直的方向射入棒的自由端，子弹穿过棒后速度减为V/2，则棒的角速度是（       ）
A．              B．
C．            D．
7．质量相同，半径相同的圆柱和圆球沿同一斜面自相同的高度处向下作无滑滚动，则到达末端时（     ）
A．两者的转动动能相等           B．两者的总动能相等
C．两者的质心速度相等           D．两者的角速度相等
8．圆柱体质心为C，可在水平面无滑滚动，其边缘绕有不可伸长的细线，细线绕过定滑轮与重物A相连，重物A和B．C．D各点的速率分别为  （    ）
A．VA=VC      B．VA=VB       C．VA=VD        D．VA=2VC  
9．一边长为a，质量为m的匀质的正方形薄板，对过质心与板面垂直的转轴的转动惯量为： （    ）
A．ma2/12         B．ma2/6        C．ma2/3          D．ma2/2
10．一正方形框架边长为a，每边的质量为m，则绕过其一边的轴的转动惯量为：（     ）
     A． ma2/12                 B． ma2/3
C．  ma2/4                 D． 5 ma2/3
11．一个质量为60kg的人在一质量为60kg 、半径为1m的匀质圆盘的边缘，圆盘可绕与盘面垂直的竖直轴无摩擦地转动，系统原来是静止的，后来人沿盘边缘走动，当他相对于圆盘的速度为2m/s时，圆盘的角速率为(      )
A．1rad/s       B．2rad/s      C．rad/s    D．rad/s
二、计算题
1、如图质量为m长为L的均质细棒，可绕通过距其一端为L/4的水平轴转动，细棒原来处于水平静止状态，求此棒通过平衡位置时的角速度。
2、一长为L，质量为m的均质细杆放在水平桌面上杆与桌面之间的滑动摩擦系数为μ，若杆开始时以角速度ω0绕过其一端且垂直于杆的轴转动，试求经过多长时间后，杆子停止转动。
3、如图所示，半径为R，质量为M的均质圆柱放在粗糙的桌面上，柱体上绕有不计质量的细绳的一端通过不计质量的定滑轮吊一个质量为m的重物,试求：（1）重物下落的加速度；（2）绳中的张力；（3）圆柱体和桌面间摩擦力的大小，方向。
4、一个匀质实心圆柱体，质量为m,半径为R，放在与水平成α角的斜面上，斜面与圆柱体间的摩擦数为μ，若欲圆柱体沿斜面无滑动地滚下，则α角最大等于多
5、如图所示是一阿特武德机，绳子一端悬挂一重物m1=500g，另一端悬挂一重物m2=460g，半径r=5.0cm 的滑轮绕水平光滑轴转动，自静止开始释放重物．并测得m1在5.0s内下降75cm，试由这些数据确定定滑轮的转动惯量（不计绳的质量及伸长，且绳与滑轮之间无相对滑动）。
答  案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B B A D A B D B D D
计算题
1、 ；2、
3、     “－”表示f的实际方向与假设方向相反
4、：            当 时不滑。  
5、由此可解得：=1．4×10－2(kgm2)