解放军文职招聘考试牛顿力学基本理论

 第二章 质点动力学
    现在我们知道，我们可以用位置矢量来描述和确定质点的位置，用位置矢量的时间变化率即速度来描述质点的运动状态，用速度的时间变化率即加速度来描述质点运动状态变化的激烈程度。接下来的问题就是：物体为什么会运动？物体运动的原因是什么？物体运动有什么样的动力学规律？如何描述？在第一节，我们将介绍牛顿对物体运动动力学规律的总结，并给出数学处理解决物体动力学问题的途径；而在接下来的第二节，我们给出几种牛顿运动定律的运用实例；在第三节，我们将介绍力学中几种常见的力的作用形式；在第四节，我们还将专题性的初步讨论一类质点运动的问题，即质点的约束运动问题；第五、六、七节，我们将进一步研究物体运动过程中，诸如能量、动量、角动量等物理量所遵循的动力学规律，以完整地搭建起质点运动的动力学理论体系；在最后一节，我们将专题性的讨论有心力场中物体运动的动力学问题，这将涉及到万有引力场中行星运动的问题和α粒子的散射问题。
§2.1  牛顿力学基本理论
牛顿力学的基本理论是由牛顿的三个运动学定律组成的。
    10、牛顿第一定律
任何质点在不受外力作用时都将保持其运动状态不变，即质点将保持匀速直线运动状态或静止状态。
    20、牛顿第二定律
质点运动状态的改变所获得的加速度与其所受到的外力成正比，与其质量成反比。如以F代表质点所受到的外力，m代表质点所具有的质量，a代表质点运动状态的改变所获得的加速度，则即有
    F = ma                                                                      (2.1.1)
亦即                                                                       (2.1.2)
    30、牛顿第三定律
物体之间的作用总是相互的，其相互作用力总是大小相等，方向相反，处于物体间的连线上。
应用举例：P40例题1
    40、惯性参照系
      z       z’
                      S’
   S             
           o’    r’       P
         r0         r        y’
      o
          x’                 y
 x
图2.1，参照系S’相对于惯性系S作匀速直线运动，则系也是惯性系。
   能使牛顿运动定律成立的参照系称之为惯性参照系。理论和实验都可表明：任何相对于惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。这就是所谓的伽利略相对性原理。
    如图2.1，设有惯性系S，若另一参照系S’相对于S作匀速直线运动，则意味着组成S’系所有的点均相对于S系作匀速直线运动，S’系的坐标轴其方向不变。这样，可取两参照系的坐标轴如图2.1所示，而S’系的坐标原点o’相对于S系坐标原点o的位矢r0就有
          为常量                          (2.1.3)
相应地                                                                     (2.1.4)
现考虑一质点P受力F的作用，t时刻的位置如图1所示，相对于S系的位矢为r，相对于S’系的位矢为r’，有
        r = r0 + r’                                                                             (2.1.5)
这就是著名的伽利略变换。若质点的质量为m，则在S系中有牛顿第二定律
                                                       
而由(4)及(3)式，有
                                                                      (2.1.6)
这样代入(5)式就得
                                                                              (2.1.7)
(7)式正是在S’系质点所满足力学定律，其形式也就是牛顿第二定律的形式。这说明了S’系也能使牛顿第二定律成立，即任何相对于惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。
50、运动微分方程
质点所受到的作用力F一般是质点位矢r、速度和时间t的函数，即
                                                                (2.1.9)
由牛顿第二定律，质点的运动微分方程就为
                                                                       (2.1.10)
在笛卡尔直角坐标系下，质点的运动微分方程为
                                                            (2.1.11)
即
                                                             (2.1.12)
在平面极坐标系下，质点的运动微分方程为
                                                                (2.1.13)
即
                                                        (2.1.14)
在平面自然坐标系下，质点的运动微分方程为
                                                                (2.1.15)
即
                                                                          (2.1.16)
别的坐标系下的运动微分方程可类推出来。
§2.2 牛顿运动定律应用实例
10、力只是时间t的函数的问题
P31(周)
20、力只是坐标的函数的问题
P40(陕西)，P35(周)
30、力只是速度的函数的问题
P32(周)，P42(陕西)
40、一般性问题
阻尼振动P53(陕西)
§2.3  力学中常见的几种力
    10、万有引力
任意两个物体间总存在相互作用的引力，力的方向沿物体间的连线，大小与两物体质量的乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比，即
                                                                    (2.3.1)
     m1

    r1
                r = r12
               F12
 
  o        r2          m2

  图2.2，质点m1对质点m2的万有引力为F12。
其中， (m3·kg-1·s-2)，称为万有引力常数。若写成矢量形式，则质点m1对质点m2的万有引力F12为
                                     (2.3.2)
式中r12表示质点m2相对于质点m1的位置矢量(如图2.2)，而负号表示F12的方向与r12的相反。
    20、重力
    重力是地球表面附近的物体由于地球的吸引而受到的竖直向下的力，其大小为
    F ＝mg                                         (2.3.3)
其中g称为重力加速度，与质量无关。在地球表面不同的区域，量值有点差异。一般大小约为9.8米/秒2。
由于物体所受到的重力主要是地球的吸引力，若物体的质量为m，地球的质量为M，地球的半径为R，则物体所受到的重力有
     
故重力加速度有
                                                                             (2.3.4)
由此可见，物体的重力加速度其数值与物体自身的质量无关。
例1，假设质点在地球的引力作用下运动，设地球的质量为、半径为，如果不计大气的阻力和地球自转的影响，求质点自地球外距地心处，沿质点与地心的连线方向以初速度离开地心的运动规律。

     M        m
     o        x        v       x

例1示意图
解：取地心为坐标原点，地心到质点的连线方向为轴的方向，质点受到的万有引力在质点与地心的连线上，在处的大小为
   
在地球表面有，
从而   
其中，负号说明质点受到的万有引力方向与的方向相反。由题意，显然质点只在地心到质点的连线方向上运动。设质点在处的速度为v，由牛顿第二定律就有
       
亦即   
   
于是可积分
       
就得到质点在位置时的运动速度关系
       
应用举例：P47例题2
    30、弹性力
两个物体直接接触时，如果物体发生形变，物体之间就产生一种相互作用力，并且在一定限度内，形变越大，力也越大，形变消失，力也随之消失。这种与物体形变大小有关的力，称为弹性力。弹性力的方向垂直于过两物体接触点的切面。
                                   x
             O       x
  图2.3，在弹性限度内，弹簧产生的弹性力与弹簧的形变量成正比。
物体受力的作用，必定要发生弹性形变。当把力撤出后，若物体能完全恢复到原来的形状，则这样的形变称为弹性形变。如果作用在物体上的力超过一定限度，物体就不能完全恢复到原来的形状，则这个限度称为弹性限度。
如图2.3，将弹簧水平放置，其一端固定，另一端连接物体。O点处为弹簧未发生形变时的位置，通常称为平衡位置。实验表明：在弹性限度内，弹簧产生的弹性力与弹簧的形变量成正比，即
                                 (2.3.4)
其中，k为弹簧的弹性系数，或称为倔强系数，x为弹簧的形变量，负号表明弹力的方向与形变的方向相反。
    40、摩擦力
当一个物体在另一个物体的表面上滑动或有滑动趋势时，两个物体的接触面上就会产生阻碍物体作相对运动的力，这种力就是众所周知的摩擦力。一般的摩擦力有下列几种类型：
          N
                    F
   f

图2.4，当静摩擦力增大到一定数值时，再增大拉力，物体将发生滑动，此时的静摩擦力为最大。
1、静摩擦力
    当物体有滑动趋势但商未滑动时的摩擦力称为静摩擦力。如图2.4，静摩擦力的大小与外力的大小相同，但方向相反。如果增大拉力F，静摩擦力f也增大。当静摩擦力增大到一定数值时，再增大拉力，物体将发生滑动，此时的静摩擦力为最大，且有
                                           (2.3.5)
其中，μ0称为静摩擦系数。
2、滑动摩擦力
当相互接触的两物体有相对滑动时，物体接触面间的摩擦力就称之为滑动摩擦力。实验表明：滑动摩擦力f的大小与物体间的相互压力N的大小成正比，即

  f                                f
 图2.8, 纯滚动时，轮缘与地面的接触点是不动点。
                             (2.3.6)
其中，μ为滑动摩擦系数。一般滑动摩擦系数要比静摩擦系数小一点。
3、滚动摩擦
当圆形的物体在一物体表面滚动时，其接触点处会有一种阻碍物体滚动的力，这种力就称为滚动摩擦力。一般滚动摩擦力要比滑动摩擦力小得多。
无滑动的滚动摩擦力实际上是静摩擦力。如考虑骑行自行车的前后轮运动，在纯滚动的情况下，轮子与地面的接触点既在轮缘上的，也在地面上。地面没动，该接触点也就速度为零静止。但对于后轮，它是主动轮。主动的转动使得轮缘与地面的接触点相对于地面有向后运动的趋势，从而地面对该接触点就有一个向前的作用力，这个作用力显然正好就是静摩擦力。
对于前轮，它是从动轮，整体被车身推着向前。在纯滚动的情况下，轮缘上与地面的接触点虽然速度为零静止，但相对于地面有向前运动的趋势，从而地面对该接触点就有一个向后的作用力，这个作用力显然也正好就是静摩擦力。
                   NB
             a
                  T           fB
     NA     T
          A    fA
                       mBg
           mAg

例2题图
例2，如图，物体和的质量分别为和，他们之间用轻绳连接，放在倾角为的斜面上，物体和与斜面间的滑动摩擦系数分别为和，且。试求两物体运动的加速度和绳中的张力。
解：如图，对于物体，在沿斜面和垂直于斜面的方向上，由牛顿第二定律，应分别有
                   (1)
                                                             (2)
同样对于物体，在沿斜面和垂直于斜面的方向上，应分别有
                                                        (3)
                                                                  (4)
由题意知，不可能大过，显然只有。而当时，应有。此时由(1)和(3)有
       
       
时，即为
       
于是    ，
而这与题设矛盾，故只能是＝。这样，联立上述4个方程就可解得
       
        。
应用举例：P51例题3

§2.4 质点的约束运动
10、约束运动的基本概念
质点运动时，如果其位置或速度受到其它物体的限制和约束，则质点这时的运动称之为约束运动，限制或约束质点运动自由的物体称为约束物，而约束物体对质点运动自由的限制条件称为约束，其数学表示即为约束方程。如小金属环被穿在一根细铁丝上运动，小金属环的运动自由就被限制住了，被约束得只能在这根细铁丝上运动，而细铁丝的曲线方程即为约束方程。又如在某个固定曲面f(x, y, z) = 0上运动的质点，其运动自由被限制在该曲面上。该曲面方程f(x, y, z) = 0，即为约束方程。
毫无疑问，约束物对质点运动自由的限制是限制了质点沿某个向运动，因此，约束物体必然要受到质点对这个方向的作用力。反之，约束物体也要对质点施加反作用力，这种反作用力即称之为约束反力，简称约束力。
除了约束反力，一般的力对质点运动方向的自由没有限制，这种力就称为主动力
20、约束运动的动力学方程
一般质点运动所受到的外力可分为主动力F和约束反力R，故由牛顿第二定律，质点约束运动的动力学方程就为
                                                                      (2.4.1)
如前面具有阻力的媒质中作抛射运动，其运动微分方程就是这样的动力学方程。
在很多情况下，在自然坐标系中求解质点约束运动的动力学方程要容易些。此时，
                                                                 (2.4.2)
通常，在光滑曲面或曲线约束的情况下，，这样，问题就大大地简化了。(例，P62，陕西)
30、拉格朗日未定乘数法
如果质点受约束而平衡，那在很多情况下，可以用拉格朗日未定乘数法来确定质点所受到的约束反力。
1、设一质点被约束在一光滑曲面
                                                                    (2.4.3)
运动方程为
                                                                          (2.4.4)
即
                                                                       (2.4.5)
由于的方向为曲面的法线方向，则应有
                                                    (2.4.6)
若令比例常数为λ，则
                                                                          (2.4.7)
这样，约束反力就可表为
                                                                           (2.4.8)
故运动方程为
                                                                     (2.4.9)
如果质点由于约束而处于平衡状态，有
                                                                          (2.4.10)
即有
                                                                      (2.4.11)
从而联立方程(3)和(11)，即可确定质点所处的平衡位置和待定常数λ。进而由(7)或(8)，即可确定约束反力。这就是所谓的拉格朗日未定乘数法。
2、设质点光滑曲线的约束，曲线方程为
                                                                     (2.4.12)
其运动方程为
                                                                   (2.4.13)
其中和分别为曲面和对质点的约束反力，并分别沿曲面和的法线方向，应有
                                         (2.4.14)
于是质点的运动方程就为
                                                            (2.4.15)
其约束反力就为
                                                                        (2.4.16)
同样如果质点由于约束而平衡状态，有
                 
即有
                                                         (2.4.17)
则由曲线方程(12)和(17)，可确定质点的平衡位置(x, y, z)和待定常数λ1及λ2五个量。进而由(16)，可确定质点所受到的约束反力。

§2.5  功和能
    10、功和功率
为衡量力对质点移动的作用效果，可设t时刻质点所受到的力为F，dt时间内质点的位移为dr，则t时刻的dt时间内力F对质点移动的作用效果可由如下的点积衡量：
                                                                     (2.5.1)
并将之称为dt时间内，力F对质点所做的功。
若t时刻质点所受到的力为F，则质点从t1时刻的A(x1,y1,z1)点处运动到t2时刻B(x2,y2,z2)点处的过程中，力F对质点所做的功为
                                                (2.5.2)
同样的道理，t时刻瞬间力F对质点做功的快慢程度由如下所谓的功率来衡量：
                                                                        (2.5.3)
若将(1)式代入(3)式可得
       
即                                                                          (2.5.4)
应用举例：P61例题1
    20、能量
质点(物体)本身所具有的做功的能力称为质点(物体)所具有的能量。
    30、动能
          v
                f
          m

图2.5，质点受到一个与其运动相反恒定不变的阻力f的作用。
考虑一质量为m速度为v的质点受到一个与其运动相反恒定不变的阻力f的作用(如图2.5)，质点将克服阻力作匀减速直线运动，其加速度为
   
从速度v到运动停下来，质点克服阻力所运动的路程为
       
         
而     
所用的时间就为
       
这样，质点克服阻力所做的功就为
     
这说明质量为m、速度为v质点具有做功的能力，也就是说具有的能量，这样的能量就称为动能，并记为
                                                                           (2.5.5)
    40、动能定理
我们知道，若t时刻质量为m的质点所受到的力为F，则质点从t1时刻的A(x1,y1,z1)点处运动到t2时刻B(x2,y2,z2)点处的过程中，力F对质点所做的功为
        
而由牛顿第二定律
       
这样   
注意到，并且，于是
       
即                                                        (2.5.6)
其中v1和v2分别是A、B两处质点运动的速度。这表明：外力对质点(物体)做的功，等于质点动能的变化，这就是所谓的动能定理。
    或者考虑t时刻的dt时间内，外力对质点所做的功为
       
即      dW=dT                                                                       (2.5.7)
这样动能定理就是：外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
应用举例：P64例题2。
    50、势能的概念
考虑质量为m的质点，置于距地面高h的地方。今让其克服空气阻力下落至地面，则质点(在重力的作用下)将克服空气阻力做mgh的功。这说明，距地面高h地方的质点，本身在这个位置就具有了做功的趋势，具有了做功的能力，这种做功的能力称之为势能－重力势能，并记为
    V＝mgh                                                                      (2.5.8)
          A

                    dr
       rA    r
               r+dr
                            B
     O                     rB
图2.6，物体在地球引力的作用下，沿任意曲线移动到B点。
一般来讲，如果质点(物体)处于一定的位置就具有一定做功的能力，则这种能力就叫做势能。
从势能的意义看，势能的大小与质点所处的位置有关。如前面所讲的重力势能，位于距地面高为h的质点，若要向地面下落，所具有的重力势能就为mgh，高度不同，重力势能就不同。不过若只向高为h’的桌面下落，所具有的做功的能力就只有mg( h-h’)，这说明质点重力势能的大小不但与质点所处的位置有关，还与质点所要下落的那个位置有关，这个所要下落的位置叫做重力势能的参考位置。如倒过来，处于地面的质点，相对于高h地方的重力势能为-mgh。
常见的势能除了上面所讲的重力势能外，还有下列几种：
1、引力势能
设地球的质量为M，半径为R，在地球的表面外A点处有一质量为m的物体。若这物体在地球引力的作用下，沿任意曲线移动到B点(如图2.6)，则地球引力对物体所做的功就为

                              (2.5.9)
这说明，处于A点的物体，本身就具有向B点移动做功的能力，这种能力称之为相对于B点的引力势能，而B点就是这引力势能的参考位置。若将参考位置B点选在无限远，即，则质量为m，位置为rB的物体所具有的引力势能就为
                                                                 (2.5.10)
                       xA        A
         x
              O   xB   B     
  图2.7， 处于A点的物体具有克服阻力向B点移动做功的能力。
2、弹性势能
如图2.7所示的弹簧，一端固定，另一端连接一质量为m的物体，其平衡位置取为坐标原点O。今将物体拉至位置A，让其在弹力的作用下向位置B运动，则物体在弹力的作用下将做功
       
                                    (2.5.11)
这说明，处于A点的物体，本身就具有向B点移动做功的能力，这种能力称之为相对于B点的弹性势能，而B点就是这弹性势能的参考位置。若将参考位置B点选在平衡位置，即xB=0，则质量为m，位置为x的物体所具有的弹性势能就为
                                                                           (2.5.12)
    60、力场和力函数
并不是每一种力都能使处于一定位置的物体就具有一定的势能，为了更严谨地研究这种与位置相关的势能和力的关系，我们先从力场的概念开始。所谓的力场就是：如果质点在某一空间区域的每一点均受到一定力的作用，则这样的空间区域就称之为力场。如果场力不但与质点所处的位置(r)有关，而且还与时间t有关，则这样的力场称为非稳定力场，此时
                                                                     (2.5.13)
    如果场力只与质点所处的位置(r)有关，则这样的力场称为稳定力场，此时
                                                                           (2.5.14)
在一稳定力场中，若存在一单值有限函数，使得
                                                     (2.5.15)
即
                                                                           (2.5.16)
则此单值有限函数u(x, y, z)称为该力场的力函数，此时
       
即                                            (2.5.17)
为一恰当微分，即全微分的形式。这样，
                                         (2.5.18)
即此时场力对质点所做的功只与质点所处的位置有关，而与质点所移动的路径无关。而这样的场力称为保守力，否则就是耗散力。相应地，这时的力场称为保守力场。
存在力函数的力场具有如下的性质：若一稳定的力场存在力函数，则在力场中，场力对任一闭合路径的积分一定为零，即
                                                                     (2.5.19)
这是因为如果力场存在力函数，则必有(17)式，即
       
对这存在单值有限力函数的力场中的任意两定点A和B，可有
       
或     
从而对任一过A和B两点的闭合路径，总有
       
反之，一稳定力场存在力函数的充要条件就是：对力场中任一闭合路径的积分为零，即
   
此时，由斯托克斯定理，
       
必有                                                                       (2.5.20)
也即，如果对一稳定力场中的任意一点，均有
       
则此力场必定存在力函数，使得
       
而此时的力函数为
                           (2.5.21)
其中，为力场中的某一定点。
    70、势能的定义
我们知道对于保守力场，一定存在力函数。若取一函数，使得
                                                           (2.5.22)
则在力场中，假定克服某种阻力将质点从A点移动到B点，则质点克服阻力所做的功为
                                           (2.5.23)
即                                                                        (2.5.24)
这表明质点对外做了的功，消耗了自己的能量，使得自身的能量减少，这种能量就是，我们称之为势能。
    80、机械能与机械能守恒定律
质点的动能和势能统称为机械能，即
                                                                  (2.5.25)
如果只有保守力对质点做功，一方面考虑到动能定理，保守力对质点所做的功为
   
另一方面，我们知道保守力对质点所做的功等于质点势能的减少，即
       
这样两式联立就有
                                                                        (2.5.26)
亦即                                                                          (2.5.27)
从而     E＝常量
这说明：如果只有保守力对质点做功，则质点的机械能守恒，保持不变，这就是众所周知的机械能守恒定律。
也可以假设t1时刻质量为m的质点其速度为v1，势能为V1，位于A点处。经过一段时间后的t2时刻，速度为v2，势能为V2，运动到B点。如果在这运动过程中只有保守力做功，则由于机械能守恒，有
                                                         (2.5.28)
    90、功能原理
如果作用在质点上的外力有保守力和非保守力，则保守力所做的功为
   
而非保守力所做的功为设为，但由动能定理，外力对质点所做的功为
       
这样，非保守力所做的功就为
       
即                                                             (2.5.29)
这表明：非保守力对质点所做的功，等于质点机械能的增量。这就是所谓的功能原理。
同样假设t1时刻质量为m的质点其速度为v1，势能为V1，位于A点处。经过一段时间后的t2时刻，速度为v2，势能为V2，运动到B点。则在这运动过程中，非保守力对质点所做的功就为
                                                   (2.5.30)
§2.6  动量与动量定理
    10、冲量、动量与动量定理
为了衡量力F在dt时间内对质点的作用效果，可以用上一节所讲的功。但在撞击过程中，撞击力F在短促撞击时间dt内对被撞击物的作用效果，用功来衡量就意义不大了。为此，可考虑如下简单的物理量
    I = Fdt                                                                       (2.6.1)
作为衡量撞击力F在短促撞击时间dt内对被撞击物的作用效果。利用牛顿第二定律，(1)式就可化为
                                                               (2.6.2)
可取                                                                          (2.6.3)
这样我们发现：I这个物理量与p这个物理量直接相关。若以I=Fdt这个物理量来衡量力F在短促撞击时间dt内对被撞击物的作用效果，则这个作用效果等于p这个物理量在dt时间内的增量。注意到p=mv这个物理量直接与运动相关，所以我们可称之为动量，而I=Fdt物理量被称之为力F在dt时间内对质点的冲量。这样，而(2)式就称之为动量定理，即力F在dt时间内对质点的冲量等于质点在dt时间内动量的增量。
    实际上，上一节所讲述的功和动能等物理量以及动能定理，也是在如何衡量力F在dt时间内使质点有dr位移的作用效果所获得的，这里就不再回过头去赘述了。
    20、动量守恒定律
由动量定理(2)式可知：如果质点所受到的外力为零，则
    d(mv)=0
    mv=C  为常量
即如果质点所受到的外力为零，则质点的动量保持守恒不变，这就是质点的动量守恒定律。
对于单个质点来讲，动量守恒定律的意义不大。但如果考虑由若干质点组成的质点系，那整个体系动量守恒定律的意义就非同一般了，这可以参见下第四章，质点系动力学。
§2.7  角动量与角动量定理
    10、矢量矩、力矩和动量矩(角动量)
对于一空间矢量A，其大小、方向、起始点(作用点)为这矢量的三要素。为了能更完整地描述空间矢量及其效应，我们可定义如下的矢量矩：若矢量A的起始点相对于参考原点O的位置矢量为r，则定义A对O点的矢量矩为
                                                                       (2.7.1)
如力矩
                                                                            (2.7.2)
动量矩(角动量)
                                                                           (2.7.3)
    20、角动量定理
对于牛顿第二定律
   
以r叉乘之可得
       
注意到
     
故有
                                                                     (2.7.4)
即                                                                         (2.7.5)
这表明：质点对参考原点的角动量其时间的微商，等于质点所受到的外力对参考原点的力矩。这就是所谓的角动量定理。
30、角动量守恒定律
由质点的角动量定理可知：如果质点所受到的外力对参考原点的力矩为零，即
   
则                                                                     (2.7.6)
即此时质点对参考原点的角动量保持为常量，这就是所谓的角动量守恒定律。
§2.8  有心力与有心运动
10、有心力
若质点所受到的外力其作用线恒通过一定点，则这样的力称之为有心力，此定点称为力心。若有心力的方向恒指向力心，则为引力；若有心力的方向恒背离力心，则为斥力。
一般情况下，取力心为参考原点，在多数时候，有心力的大小是矢径的函数，即
   
或者
                                                                 (2.8.1)
而满足(1)式的空间区域称之为有心力场。
20、有心力的基本性质
(1)、只在有心力作用下的质点其角动量守恒。实际上由角动量定理
   
由于   
故质点的角动量，即守恒。
(2)、在有心力的作用下，质点恒在一平面内运动。这是由于质点的角动量守恒，即有
   
展开   
就有
       
分别以x,y,z乘之得
       
三式相加得
       
这表明质点运动的坐标保持在一平面上，即质点保持在一平面上运动。
(3)、有心力为保守力，质点的机械能守恒。实际上可以证明
当     
则必有 
即F为保守力，质点的机械能守恒。
    30、有心运动
取质点在有心力作用下运动的所在平面为xoy平面，力心为原点，并建立平面极坐标系，则由牛顿第二定律
(1)、质点运动的微分方程就为
                                                            
(2)、质点运动的角动量
                                        (2.8.4)
为常量，此时可令
                                                                              (2.8.5)
h也为常数，而
                                                                             (2.8.6)
称为速度矩。同样地由(2)式
                                                         (2.8.7)
也可以得到角动量守恒。
(3)、质点运动的轨道微分方程－比耐公式
令                                                                          (2.8.8)
则     
而由   
有     
注意到 
和     
代入到(1)式就得
       
即                                                          (2.8.9)
这就是质点运动轨道所满足的微分方程—比耐公式。
(4)、质点运动的机械能
势能：由于有心力场为保守力场，故可由
   
其势能为
                                                                   (2.8.10)
而其机械能
                                                           (2.8.11)
守恒。
    40、平方反比律有心引力
1、平方反比引力
取力心为参考原点，质量为m，距力心为r的质点所受到的平方反比引力可表为
                                                        (2.8.12)
其量值为
                                                                         (2.8.13)
其中k为常数。
2、质点运动的能量
若取无穷远处为零势能参考点，则由
   
积分   
得     
即质量为m，距力心为r远处的质点其势能为
                                                                     (2.8.14)
相应地，质点运动的机械能就为
                                                                    (2.8.15)
3、质点运动的轨道
若令
         
则     
代入比耐公式
       
得                                                                     (2.8.16)
其通解为
                                                            (2.8.17)
其中，A和为积分常数。若选取一定的基线，使得，则(6)式可化为
                                                         (2.8.19)
这就是质点运动的轨道方程。这说明在平方反比有心引力的作用下，质点的运动轨迹为圆锥曲线。其中

               b         r
         a         c      θ
                        o

图 2.8，椭圆的长短半轴长分别为a和b，焦点到中心的距离为c。
                                                     (2.8.19)
4、质点运动的轨道类型
(1)、e<1时，质点运动的轨道为椭圆。设椭圆的长短半轴长分别为a和b，焦点到中心的距离为c(如图7)，则在近日点
 
            (2.8.21)
于是得
                                                                 
(2)、而
故                                                                   (2.8.20)
又在近日点
                                                                (2.8.21)
故质点的机械能
       
利用，就有
       
从而
                                                                       (2.8.22)
即质点的运动轨迹为椭圆时，e<1，E<0。反之，若E<0，则质点的运动轨迹为椭圆。
                       准
                       线
             r
               θ
           o   q             x

图2.9，质点运动的轨迹为抛物线的情形。
(2)、e=1时，质点运动的轨迹为抛物线。如图8，在近日点
                                  (2.8.23)
也即                
于是                           (2.8.24)
从而                                (2.8.25)
这样，质点的总能量
       
代入(1)和(3)就得
                                                                      (2.8.26)

         r                c       
           θ   
       o         a

 

图2.10，质点运动的轨迹为双曲线的一支的情形。
这说明，质点运动的轨迹为抛物线时，e=1，E=0，总能量为零。反之，若E=0，则质点的运动轨迹为抛物线。
(3)、e>1时，质点运动的轨迹为双曲线的一支。设该双曲线的实半轴长为a，焦点到中心的距离为c。如图9，在近日点

即                                                                 (2.8.27)
得                                                               (2.8.28)
从而                                                                  (2.8.29)
这样，总能量就为
       
         
即                                                                      (2.8.30)
这说明质点运动的轨迹为双曲线的一支时，e>1，E>0。反之，若E>0，则质点运动的轨迹为双曲线。
    50、牛顿万有引力定律的导出
1、开普勒行星运动三定律
开普勒在第谷和他自己多年对太阳系的行星观测数据的基础上，归纳
出了太阳系的行星运动三定律。
第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。即行星运动的轨道方程为
    .    e<1                                                       (2.8.31)
第二定律：行星和太阳之间的联线(即矢径)在相等的时间内扫过相等的面积。即
                                                                      (2.8.32)

           dθ    r
    o      θ
  M                    x
图2.11， 矢径r在dt时间内所扫过的面积为。
第三定律：所有行星绕太阳作椭圆运动周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。即
  (对所有的行星，常数都相同)              (2.8.33)
2、牛顿万有引力定律的导出
牛顿考虑到：对一颗绕太阳运行的行星m，
若取太阳的位置为原点o，则矢径r在dt时间内所扫过的面积为
                                                                  (2.8.34)
而由开普勒第二定律，有
           为常量不变。                                          (2.8.35)
故此行星的角动量也为常量不变，保持守恒。由有心力的性质，这说明该行星所受之力无横向分量，作用线恒通过太阳，为有心力，力心为太阳。
又由开普勒第一定律，行星的运动轨迹为椭圆，应有
   
若令   
并代入比耐公式就可得
                                                                          (2.8.36)
其中，这说明行星所受之力为平方反比有心引力，方向恒指向太阳，其来源只可能来自太阳，即太阳对行星有平方反比有心引力的作用。
现假设该行星椭圆轨道的半长轴长为a，半短轴长为b，焦距为c，由开普勒第二定律
   
积分一周得
       
从而
       
          
而由开普勒第三定律，所有行星的与成正比，比例系数为常数，对所有的行星该常数都一样。因此，这常数对所有的行星都相同。进一步考虑，由于所有的行星所受到的平方反比有心引力来自太阳，自然这个常数就只与太阳本身有关，所以可令
                                                                           (2.8.37)
其中，M为太阳的质量。这样，行星所受到的太阳引力就为
                                                                        (2.8.38)
其中，常数G对所有的行星都一样。更进一步地推论：相距为r，质量分别为m1和m2的两物体之间也存在这样的引力，其大小为
        
其中，引力常数G对所有的物体都一样，这样就导出了万有引力定律。后来，卡文迪什用扭称测出的引力常数为
                                                      (2.8.39)
    60、人造天体的运动
从地球上抛射出去运动的物体，如果不回落到地面，这样的物体称为人造天体，通常称之为卫星。卫星要不回落到地面，有三个运动速度可以使之做到这一点。首先考虑受地球引力作运动的物体m，其能量守恒为
                                                                  (1)
其中，M为地球的质量。
若卫星在地球表面附近绕地球作近似的圆周运动(椭圆运动的一种)，则其能量为
                                                                (2)
其中，R为地球的半径。若假设卫星作这样运动的速度为，则有
                                                                   (3)
考虑到在地球表面附近，有
                                                                      (4)
则(3)式可化为
       
从而得到从地球表面发射，能绕地球运转的人造卫星所需要的速度－第一宇宙速度
                                                               (5)
若需卫星刚能脱离地球的吸引，可认为卫星对地球作抛物运动，总能量为零。又考虑到卫星是从地面发射的，故可假设卫星在地球表面附近的运动速度为，于是有
   
从而得到从地球表面发射，能摆脱地球的吸引，成为一颗绕太阳运转的人造行星所需要的速度－第二宇宙速度
                                                            (6)
这说明，卫星在地球表面附近得以以上的速度，才能摆脱地球的吸引，成为太阳系内的一颗人造行星。
最后考虑太阳对一颗在地球公转轨道附近的人造天体m的作用。假设此人造天体相对于太阳的运动速度为v，则其能量为
                                                                  (7)
其中，，M0为太阳的质量，r为地球的公转轨道半径。若需该人造天体刚能脱离太阳的吸引，则可认为该人造天体相对于太阳作抛物运动，其总能量为零守恒，有
                                                                     (8)
利用(4)及(5)式就有
       
从而由(8)式得
                                               (9)
即在地球公转轨道附近的人造天体，得以此相对于太阳以上的速度运动才能摆托太阳的吸引。但考虑到这人造天体是从地球出来的，而地球本身已经具有了的速度，故可假设该人造天体从地球出来的速度为，应有
       
于是                                                         (10)
而实际上该人造天体是从地球表面发射的，发射时还得克服地球的引力使之达到的速度，以摆脱地球。若假设从地球表面发射的速度为，则在地球表面附近，由于能量守恒，应有
                                                                  (11)
利用(6)式的推导可得
       
从而得到从地球表面发射，不但能摆脱地球的引力，还能摆脱太阳的引力所需要的速度―第三宇宙速度
                                                        (12)
    70、平方反比有心斥力与α粒子的散射
如果质点受到的是平方反比有心斥力的作用，即
                                                                          (1)
则可令，代入到比耐公式
       
得                                                                        (2)
其通解为
                                                             (3)
或                                                              (4)

            r
          θ
   F                       x

图2.12，力心位于焦点处，而质点的运动轨迹为双曲线的另一支。
对于表达式(4)，可化为
                          (5)
若令              (6)
并选取一定的基线使得，则(5)式可化为
                                   (7)
这也是一支双曲线，说明质点在平方反比有心引力的作用下，也作双曲线的运动，不过焦点在另一侧。

                             α

 

                           r
  v∞
       b                   φ θ
                       +Ze

图 2.13，换个角度来看粒子的散射。其中，b为原子核Ze到粒子入射线的距离。
现在我们考虑一带电量为+2e的α粒子(氦原子核)从很远的地方以速度射向一原子序数为Z、带电量为+Ze的某种原子核。取较重的原子核+Ze固定不动，α粒子所受到的库仑排斥力为
                          (8)
与(1)式比较，
                               (9)
现按图13中坐标系的选择，重新考虑比耐方程的解(3)式。
       
当时，，，则
                                                                              (10)
又取直角坐标系时，
                                                                             (11)
于是                                                     (12)
当时，设y=b，称b为瞄准距离。此时由于
       
从而                                                                              (13)
又α粒子经原子核+Ze散射远离后，可设此时的散射角为，相应地，，u=0。故此时
       
于是解的散射角为
                                                                 (14)
而由于角动量守恒，有
       
得     
这样，α粒子的散射角就为
                                                              (15)