解放军文职招聘考试第五章 刚体力学参考答案

 第五章  刚体力学参考答案

一、选择题
［   C   ］1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的
定滑轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而
且F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为A和B，不计
滑轮轴的摩擦，则有   
(A) A＝B．       (B) A＞B．
(C) A＜B．       (D) 开始时A＝B，以后A＜B．    

                                                     图5-18
提示：
设定滑轮半径为Ｒ，转动惯量为J，如图所示，据刚体定轴转动定律Ｍ=Ｊ有：
对B：FR=MgR= JB．
对A：Mg-T=Ma   TR=JA,   a=RA,    可推出：A＜B

                                                                     

图5-8
[   D   ]2、如图5-8所示，一质量为m的匀质细杆AB，A端靠在粗糙的竖直墙壁上，B端置于粗糙水平地面上而静止．杆身与竖直方向成角，则A端对墙壁的压力大小

    (A) 为 mgcos．       (B)为mgtg．
(C) 为 mgsin．          (D) 不能唯一确定．
 

提示：
因为细杆处于平衡状态，它所受的合外力为零，
NA=fB        fA+NB=mg
以B为参考点，由力矩平衡可有：

三个独立方程有四个未知数，不能唯一确定。
              

图5-11
[   C   ]3、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，如图5-11射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度
    (A) 增大．        (B) 不变．                             
(C) 减小．        (D) 不能确定．    

                   
提示:
把三者看作同一系统时,系统所受合外力矩为零, 系统角动量守恒。 设L为每一子弹相对固定轴O的角动量大小.故由角动量守恒定律得:
     JL-L=(J+J子弹)

 [   A   ]4、质量为m的小孩站在半径为R的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为J．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地面为v的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为                           
    (A) ，顺时针．    (B) ，逆时针．       
(C) ，顺时针．  (D) ，逆时针．

提示：
视小孩与平台为一个系统，该系统在转轴方向所受的外力矩为零，故系统在轴方向的角动量守恒：
0=Rmv-Jω 可得结论。

[   C   ]5、如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统
    (A) 只有机械能守恒．                                       
(B) 只有动量守恒．                                         
(C) 只有对转轴O的角动量守恒．                               
 (D) 机械能、动量和角动量均守恒．

图5-10

提示：
视小球与细杆为一系统，碰撞过程中系统所受合外力矩为零，满足角动量守恒条件，不满足动量和机械能守恒的条件，故只能选（C）

[   C   ]6、光滑的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由转动，其转动惯量为mL2，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v相向运动，如图5-17所示．当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为
    (A) ．    (B) ．    (C) ．    (D) ．    (E) ．  

 

 

                                                             
图5-19

提示：
视两小球与细杆为一系统，碰撞过程中球和杆间的相互作用力远大于球本身重力，球的重力对轴的力矩忽略不计。即系统所受合外力矩近似为零，满足角动量守恒条件。
据角动量守恒有：

则可得答案（C）。
                                                             

二、填空题
7、如图5-11所示，P、Q、R和S是附于刚性轻质细杆上的质量分别为4m、3m、2m和m的四个质点，PQ＝QR＝RS＝l，则系统对轴的转动惯量为50ml2。

                                                
提示：
据 有：
                        图5-13
                                                                

8、 一飞轮以600 rev/min的转速旋转，转动惯量为2.5 kg·m2，现加一恒定的制动力矩使飞轮在1 s内停止转动，则该恒定制动力矩的大小157N.m.
 
提示：
设力矩大小为M,由转动定律有-M=Jβ，及ω-ω0=βt  （）可得。

9、一根质量为m、长为l的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动．已知细杆与桌面的滑动摩擦系数 为，则杆转动时受的摩擦力矩的大小为

提示：
在细杆长x处取线元dx，所受到的摩擦力矩dM=μ(m/l)gxdx，则

10、一长为l、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m和m的小球，杆可绕通过其中心O且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动．开始杆与水平方向成某一角度，处于静止状态，如图5-19所示．释放后，杆绕O轴转动．则当杆转到水平位置时，该系统所受到的合外力矩的大小M＝，此时该系统角加速度的大小＝．

 

提示：
力矩：
据刚体定轴转动Ｍ=Ｊ有：  

                                                                
                        
          图5-21

 

三、计算题
1、一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M＝－k (k为正的常数)，求圆盘的角速度从变为时所需时间．
解  根据
得      分离变量有          
      得

2、如图5-17所示、质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，求盘的角加速度的大小．

解: 受力情况如图5-17
         (1) 
             (2)
            (3)
             (4)                                 
              (5)                                
联立以上几式解得: 
图5-17                                                  

3、 一根质量为m、长为l的均匀细棒，在竖直平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动。现使棒从水平位置自由下摆，求：(1)开始摆动时的角加速度；(2)摆到竖直位置时的角速度。

解：（1）根据
              
              
 所以

（2）根据机械能守恒定律有：

     所以

 

 

4、一定滑轮半径为0.1 m，相对中心轴的转动惯量为1×103 kg·m2．一变力F＝0.5t (SI)沿切线方向作用在滑轮的边缘上，如果滑轮最初处于静止状态，忽略轴承的摩擦．试求它在1 s末的角速度．
解：     
法一  根据：   
        得：  rad/s                                    
法二 由转动定律   及
有      两边积分并确定上下限得出结果

5、如图5-24所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l和l．轻杆原来静止在竖直位置．今有一质量为m的小球，以水平速度与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以的速度返回， 试求碰撞后轻杆所获得的角速度．

解：运动的小球和杆两端的小球视为一个系统，相互作用的过程中
所受的合外力矩为零，角动量守恒：
碰前的角动量为：

碰后的角动量为：

所以

得：

6、如图5-25所示，一质量均匀分布的圆盘，质量为，半径为R，
放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕
通过其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量
为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边
上，求：                                                            图5-25
(1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．                              
(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动．(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)

解：（1）设为碰撞后瞬间的角加速度，由于轴方向的角动量守恒，所以

 

（2）圆盘的质量面密度          ,在圆盘上取一半径为r,宽为dr的小环带，

 此环带受到的摩擦阻力矩

由 得
即 两边积分有
   
   

   7一块宽L＝0.60 m、质量M＝1 kg的均匀薄木板，可绕水平固定轴无摩擦地自由转动．当木板静止在平衡位置时，有一质量为m＝10×10-3 kg的子弹垂直击中木板A点，A离转轴距离l＝0.36 m，子弹击中木板前的速度为500 m·s-1，穿出木板后的速度为 200 m·s-1 (附图A－8）．求
    (1) 子弹给予木板的冲量；                                   
    (2) 木板获得的角速度．                                     
 (已知：木板绕轴的转动惯量)

                                                        附图A－8

解：(1) 设子弹穿出的速度大小为V,
木板获得的角速度为，
子弹受到木板作用力的冲量:
子弹给予木板的冲量大小为3牛顿秒，方向与子弹运动速度方向相同。
     (2) 子弹木板系统在相互作用过程中，对轴的合外力矩为0，角动量守恒，故
     

                                                            

选做题：
如图5-26所示，空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始时环的角速度为0．质量为m的小球静止在环内最高处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处的C点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径r<<R.)

解: 选小球和环为系统．相互作用过程中在轴的方向上所受合外力矩为零，故轴方向的角动量守恒．
即系统起初的角动量J00与小球滑到B点时系统角动量相同，
                                   
 J00＝(J0＋mR2)                   
                 所以 ＝J00 / (J0 + mR2)    
又因环的内壁和小球都是光滑，只有保守力做功，故地球、小球和环系统机械能守恒．
取过环心的水平面为势能零点，则有                           
      
                                                            
式中vB表示小球在B点相对于环的速度．代入得：
                              
                               
当小球滑到C点时，由角动量守恒定律，系统的角速度又回复至0，又由机械能守恒定律知，小球在C的动能完全由在A点的重力势能转换而来．所以：
 ,     