解放军文职招聘考试第十一章 量子物理基础

 第十一章 量子物理基础
【教学目的】让学生了解量子理论的基本概念，明确微观粒子的量子性是必然的规律。
【教学要求】
一、了解黑体辐射的实验规律、理解普朗克的量子概念和玻尔的氢原子理论；
二、理解德布罗意波和不确定关系式，了解微观粒子的波粒二象性；
三、了解量子力学的基本方程及其解的量子化特性
【教学重点】
一、热辐射的实验规律及普朗克的能量子概念；
二、德布罗意波假设及其物理意义；
【教学难点】 不确定度关系
【教学方法】讲授、动画演示、视频短片
【教学内容及过程】
第一讲：（2课时,共3讲）
内容提要:
一、黑体辐射 普朗克量子假说
二、光电效应  爱因斯坦光子假说
三、氢原子光谱 玻尔的氢原子理论
Chapter 11  量子物理基础
引 言
19世纪末，物理学已建立了完整的经典理论体系—牛顿力学、麦克斯韦电磁理论、热力学与统计物理学。
19世纪末， 20世纪初，却发现了许多当时物理学无法解决的新问题，主要有：
（1）黑体辐射问题：普朗克公式；
（2）光电效应；
（3）原子的线状光谱及其规律；
（4）原子的稳定性；
（5）固体与分子的比热问题（低温）。
普朗克量子假说—爱因斯坦的光子学说—波尔量子论—海森堡、薛定谔等人的量子力学不仅成功地解决了上述问题，更重要的是创立了一门全新的描述微观粒子运动规律的科学理论
§11 -1热辐射
一、热辐射 普朗克量子假说
任何物体（固体或液体）在任何温度下都在向外发射各种波长的电磁波。在一定时间内，物体向外发射电磁波的总能量（辐射能）以及该能量按波长的分布都与物体的温度密切相关。这种现象称为热辐射。
1.热辐射的基本概念
（1）单色辐出度  如果单位时间内，从物体表面单位面积上所发射的波长在 +d 范围内的辐射能为dM，那么dM与d 的比值称为单色辐出度，用M（T）表示，即

M（T）反映了物体在不同温度下辐射能按波长分布的情况，是 和T 的函数。单位为瓦/米3（W/m3）。
（2）辐出度  单位时间内，从物体表面单位面积上所发射的各种波长的总辐射能，称为物体的辐出度，用M（T）表示。在一定温度T 时，物体的辐出度与单色辐出度的关系为

辐出度M（T）与物质种类、表面状况（如粗糙粒度等）以及物体的温度有关。
（3）吸收比、反射比和透射比
当辐射从外界入射到物体表面时，被物体吸收的能量与入射能量之比称为该物体的吸收比，用A(T)表示；被反射的能量与入射能量之比称为反射比，用R(T)表示；透射的能量与入射能量之比称为透射比，用τ(T)表示。吸收比、反射比和透射比与物体的温度有关。
（4）单色吸收比、单色反射比
物体的吸收比和反射比也与波长有关，在波长为～+d 范围内的吸收比称为单色吸收比，用（T）表示；波长在～d 范围内的反射比称为单色反射比，用r（T）表示。
对于不透明的物体，单色吸收比和单色反射比的总和等于1，即

（5）绝对黑体
若物体在任何温度下，能够吸收任何波长的辐射能，即al（T）=1，则称这样的物体为绝对黑体（简称黑体）， al（T）＜1的物体称为灰体。
绝对黑体是一个理想模型。
2.黑体辐射定律
由实验可测得黑体辐射的单色辐出度按波长的分布曲线如图。图中每一条曲线反映了在一定温度下黑体的单色辐出度随波长的分布的情况。每一条曲线下的面积等于黑体在一定温度下的总辐出度M0（T）。
（1）斯特藩—玻尔兹曼定律
（Stefan . J ）（Boltzmann . L ）
黑体在一定温度下的辐出度M0（T）与其绝对温度的四次方成正比，即

—— 斯特藩—玻尔兹曼定律。式中 =5.67×10-8W/(m2·K4) ，称为斯特藩常量。
（2）维恩（Wien W.）位移定律
在每一温度下，M0（T）的最大值（峰值）均对应于一波长，该波长叫做峰值波长，用 m 表示，实验确定，  m 与T 的关系为

上式称为维恩位移定律。式中b=2.897×10-3m·K。
维恩位移定律表明黑体辐射中峰值波长lm与其温度成反比，随温度的增加而向短波方向移动。若通过实验测出lm，就可算出该黑体的温度。太阳表面温度就是用这一方法测定的。

例11-1  实验测得太阳辐射波谱的lm=490nm，若把太阳视为黑体，试计算太阳表面单位面积上所发射的功率和地球表面阳光直射的单位面积接受的辐射功率（太阳半径RS=6.96×108m，地球到太阳的距离  d =1.496×1011m）

3.普朗克量子假说  普朗克公式
（1）经典理论的困难
19世纪末,曾有许多物理学家从经典物理学出发来研究黑体辐射中M0(T)与的关系。但所得结论始终不能很好地与实验结果相符合。其中较典型的：
维恩公式（由热力学理论导出）——维恩线
瑞利—金斯公式（由电磁理论和能均分原理导出）——瑞利—金斯线——“紫外线的灾难”
（2）普朗克公式
普朗克应用内插法将以上两个公式衔接，得到

——普朗克公式。式中c—光速，k—玻耳兹曼常数，h＝6.626075×10-34 J·s—普朗克常数
（3）普朗克量子假说
普朗克为解释其公式，提出以下几点假设：
①辐射体中原子分子的振动可看作带电线性谐振子的振动——向外发射或吸收辐射能；
②谐振子的能量只能取分立的数值：
，2，3，……n
其中n—量子数， —能量子（量子），且＝h，h—普朗克常数
③谐振子从一个能量状态跃迁到另一状态，同时吸收或放出能量
（4）普朗克提出量子假说的意义
为普朗克公式的推导找到了理论依据；
爱因斯坦在此基础上提出了光量子概念，解释了光电效应的实验规律；
冲破了经典物理能量必连续的束缚，对建立量子理论作出了卓越的贡献。为此，普朗克荣获1918年度的诺贝尔物理学奖。
二、光电效应 爱因斯坦光子假说
1.光电效应的实验规律
光波照射于某种金属的表面时，从金属表面逸出电子（光电子）的现象——光电效应。实验规律如下：
（1）单位时间内,逸出金属表面的电子数与入射光强度成正比;
（2）光电子的初动能（Ek0）随入射光的频率线性变化，与入射光强度无关；
（3）存在红限频率0，当<0时，无论入射光的强度如何，也不产生光电子；
（4）响应时间<10-9s，几乎是瞬时的。
2.波动说的困难
光电子的初动能、红限频率、响应时间——无法用经典理论解释
3.爱因斯坦光子假说  光电效应方程
光子假说
1905年爱因斯坦受普朗克量子假说的启发，提出了关于光的本性的新概念——光的粒子说：
（1）光是以c运动的粒子流，粒子——光量子（光子）；
（2）每个粒子具有确定的能量： ＝h
（3）光的强度S决定与单位时间内通过单位面积的光子数N，对于频率为的单色光：
               S＝Nh
光电效应方程
由光子假说，金属中的自由电子吸收hn的能量，若hn >A（电子从金属表面逸出时所需的逸出功），则该电子将可从金属中逸出，即有

——爱因斯坦光电效应方程
实验规律的解释：
逸出光电子的数目：光强度越强，入射光子数越多，产生的光电子越多
光电子的初动能：——与入射光频率成正比
红限频率：因，所以有
响应时间：一次接收能量，不需积累能量的时间
4.光的波粒二象性
一般用能量、动量P、质量m描述光子的粒子性，用波长、频率描述其波动性。由相对论的质能关系：

其中m为光子的质量，光子的动量为：

以上两式将光的粒子性和波动性联系起来，表明了光的双重性质。我们把这种：
光的波动性和粒子性相互并存的性质——光的波粒二象性
三、氢原子光谱 玻尔的氢原子理论
1.氢原子光谱的实验规律
大量对原子光谱的研究发现原子光谱由一些线状的，不连续的光谱线组成，它表明了原子内部结构的特殊性——能级结构——经典理论无法解释。
1889年，里德伯（J.R.Rydberg）在巴耳末（J.J.Balmer）研究氢原子在可见光范围的光谱规律的基础上提出了一个普遍的方程：

——里德伯方程，其中R＝1.096776×107m-1——里德伯常数。其中：
k=1,n=2,3,…，在紫外区，1914年赖曼(T.Lyman)发现——赖曼系
k=2,n=3,4,…，在可见区，1885年巴耳末发现——巴耳末系
k=3,n=4,5,…，在红外区，1908年帕邢(F.Paschen)发现——帕邢系
k=4,n=5,6,…，在红外区，1922年布喇开(F.Brackett)发现——布喇开系
k=5,n=6,7,…，在红外区，1924年普芳德(H.A.Pfund)发现——普芳德系
k=6,n=7,8,…，在红外区，1953年哈弗莱(C.S.Humphreys)发现——哈弗莱系
2.玻尔的氢原子理论
为解释氢原子光谱的实验规律，玻尔在罗瑟福的原子核式结构模型的基础上，提出了以下几点假设：
（1）定态假设：原子系统只能处于一系列不连续的能量状态（如E1，E2，E3，…），对应这些能量状态电子只能在相应能量的轨道上绕核作圆周运动，这些状态称为原子系统的稳定态（向外不辐射电磁波）——能量量子化
（2）量子化条件：电子运动的角动量L，必须满足

（3）频率条件：原子的能级状态从一个稳定态过渡到另一稳定态时，原子即吸收（或放出）单色辐射，其频率由下式决定

3. 氢原子轨道半径和能量
在罗瑟福的原子核式结构模型的基础上，由上述玻尔假设可计算得到：
（1）核外电子绕核运动的轨道半径：

——能量量子化。E1＝－13.58eV—基态能级，n>1—激发态能级

本讲小结：
一、黑体辐射 普朗克量子假说
1.热辐射、辐出度、单色辐出度、（单色）吸收比、 （单色）反射比
2.绝对黑体、黑体辐射实验定律
（1）斯特藩—玻耳兹曼定律  M(T)＝T4
（2）维恩位移定律  Tm＝b
3.普朗克公式、普朗克量子假说
二、光电效应  爱因斯坦光子假说
1. 光电效应的实验规律
2.波动说的困难
3.爱因斯坦光子假说、光子、光电效应方程
三、氢原子光谱 玻尔的氢原子理论
1.氢原子光谱的实验规律
2.玻尔假设、氢原子轨道半径——轨道量子化、氢原子能量——能量量子化

作业：11、2
第二讲：（2课时，共3讲）
上将内容回顾
本讲内容提要: 一、实物粒子的波动性；二、不确定度关系；三、实物粒子的波函数。
§11 -2 实物粒子的波动性 不确定度关系
整个世纪以来（指19世纪），在光学中，比起波动的研究方法来，如果说是过于忽视了粒子的研究方法的话，那么在实物的理论中，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把粒子的图像想得太多，而过分地忽略了波的图像？
             ——德布罗意（L.V.deBroglie  法国物理学家）
一、实物粒子的波动性
1.实物粒子的波粒二象性、德布罗意波
1924年，法国青年物理学家德布罗意在他的博士论文中提出：
一切实物粒子都具有波粒二象性
          ——实物粒子的波动性称为物质波或德布罗意波
实物粒子的能量E及动量P与它所对应的物质波的频率和波长之间的关系正像光子和光波的关系一样。
，   ——德布罗意关系
m为实物粒子的运动质量，h为普朗克常数。
2.实验验证
（1）1927年戴维逊、革末发现：电子束在镍单晶表面的反射时，有衍射现象，实测结果和德布罗意得出的结果符合得很好。
（2）1928年汤姆逊摄得了电子束穿过金属箔（金箔）时的衍射照片
（3）1961年约恩孙的电子双缝实验。
3.应用
光学显微镜的分辨本领与光波的波长成反比,因而光学显微镜的最小分辨距离受光的波长的限制。粒子具有波动特性为制造更小分辨距离的显微镜提供了依据。1931年，德国人鲁斯卡制造了第一架电子显微镜（利用电子物质波进行工作的显微镜）。1981年德国人宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫描隧道显微镜。
当加速电场很大时,电子的德布罗意波长可以比可见光波长短得多,如V为10万伏时,电子的波长为0.004nm,比可见光短10万倍. 因此利用电子波代替可见光制成的电子显微镜能具有极高的分辨本领。
例11-2 已知电子的加速电压为10V,乒乓球的质量和速度分别为10g、5m/s 。计算电子和乒乓球的物质波波长。
(宏观物体的物质波波长同宏观物体大小相比太小，波的特性表现不出来。)
二、不确定度关系
经典力学中运动物体在任何时刻的位置、动量、能量等是确定的。
由于微观粒子具有明显的波动性，在空间某位置仅以一定的概率出现，即粒子的位置是不确定的，同样粒子的动量、能量等也是不确定的。
1927年德国物理学家海森堡（W.Heisenberg）根据量子力学原理推得：
≥ ，≥，≥
——海森堡坐标与动量的不确定度关系，上式中。表明微观粒子不可能具有确定的位置和动量。而且，x越小，px越大。
1.不确定度关系的实验基础
以电子的单缝衍射说明：
电子通过狭缝a（不确定范围x=a），到达底片的位置不确定（过a时的动量px不确定）
由单缝衍射理论，中央明纹两侧的两个极小满足：

由于在±的范围内都可能有电子的分布，即电子通过a时运动方向可能改变，图中Px即为动量p在x方向上的不确定量px（＝ Px－0）,所以

即有  
上式只考虑了中央明纹，严格的推导即可得到前述的不确定度关系。
2.不确定度的几点说明：
（1）不确定度关系是微观粒子波粒二象性导致的必然结果。不是受测量技术限制而不能测准，也不是微观粒子本身无规律或规律不能认识。
（2）不确定度关系同样存在于能量与时间之间：
≥
由此可说明原子激发态的平均寿命(t)与能级宽度(E)（辐射的单色性）之间的关系。
（3）不确定度关系是划分经典力学与量子力学适用范围的的分界线。
例11-3 设子弹的质量为0.01kg，枪口的直径为0.5cm，试求子弹射出枪口时横向速度的不确定量。
例11-4 设电视显像管中电子的加速电压为10kV，电子枪的枪口直径设为0.01cm，试求电子射出电子枪时横向速度的不确定量。
§19 -3 波函数  薛定谔方程
在量子力学中，反映微观粒子运动的基本方程称为薛定谔方程，其解称为波函数，一般用表示。即微观粒子的运动用波函数来描述。
一、实物粒子的波函数
1.实物粒子波函数的引入
对于沿x方向传播的单色平面余弦波的波函数

用复数可表示为  
沿x方向运动的自由粒子与单色平面余弦波对应（自由E＝C——单色＝C），将E＝h，p＝h/代入上式

即为自由粒子沿x方向运动的波函数——物质波。
在三维情况下，x用代替，即可得到三维运动情况下的波函数：

2.实物粒子波函数的统计解释
波函数的统计解释首先是玻恩（M.Born)提出的：
波函数在某时刻（t），空间某一点（r）的强度（振幅的平方）和该时刻在该点找到粒子的概率成正比。
以上解释可通过与光波的类比来理解：
 波动观点 微粒观点
光强度大 光波振幅平方A2大 光子在该处出现 的概率大
物质波的强度大 波函数振幅的平方y 2大 粒子在该处出现的概率大
可见物质波实际上是概率波。与经典波动(机械波、电磁波）的概念是不同的。
由玻恩对波函数的统计解释，可得某粒子在空间某体积元dV＝dxdydz内出现的概率为：

可见，，表示该粒子在t时刻、（x,y,z）处单位体积内出现粒子的概率 ——概率密度。 其中 *为的共轭复数，
由以上讨论可见， (x,t)本身并无直接的物理意义，只有才反映着粒子出现的概率。
3. 波函数须满足的条件
（1）（x，y，z，t）必须是单值、有限、连续的函数                                                                    ——波函数的标准条件。
（2）必须满足： ——波函数的归一化条件。

本讲小结：
一、实物粒子的波动性
1.实物粒子都具有波粒二象性，其中的波动称为德布罗意波，或物质波
2.德布罗意公式
，
3.德布罗意波的实验验证——电子衍射实验
二、不确定度关系
1. 不确定度关系
≥，≥
2.不确定度关系是微观粒子波粒二象性导致的必然结果。不是受测量技术限制而不能测准，也不是微观粒子本身无规律或规律不能认识
三、实物粒子的波函数
1.波函数、波函数的统计解释
2.波函数的条件

作业：阅读教材有关内容
第三讲：（2课时，共3讲）
上将内容回顾
本讲内容提要: 一、实物粒子的波动性；二、不确定度关系；三、实物粒子的波函数。
二、薛定谔方程
1926年，薛定谔（Erwin  Schrodinger）.在德布罗意物质波假说的基础上，建立了适用于低速情况的、描述微观粒子在外力场中运动的微分方程——薛定谔方程。象经典力学中牛顿方程一样，是量子力学中的基本方程。
1.薛定谔方程的一般形式
设某粒子的质量为m，在势场U(x,y,z,t)中运动，则该粒子的运动遵循

应用拉普拉斯算符，则上式可简写为

——一般的薛定谔方程。在一维自由(U＝0)的情况下，薛方程可简化为

——一维自由粒子运动的薛定谔方程
2.定态薛定谔方程
在许多实际问题中，势函数与时间无关,即U＝U(x,y,z,)。此时可用分离变量法把波函数写成：

代入薛定谔方程，并分离变量

即     
由于等式左边仅与坐标有关，而右边仅与时间有关，所以，只有两边等于同一常数时等式才成立。若令这一常数为E，则
               （1）
及
      
或               （2）
（2）式即为定态的薛定谔方程。
说明：
（1）求解(1)式可得到。所以，定态波函数的形式为

其概率密度——与时间无关，定态
（2）E具有能量的量纲。由波函数中的指数部分、(2)式中与U的关系均可说明
3.应用薛定谔方程的一般步骤
（1）列方程：已知粒子的质量、势能函数即可写出薛定谔方程
（2）解方程：写出方程的通解形式
（3）确定系数：由初始条件、边值条件及波函数的标准条件、归一化条件确定通解中的待定系数——代入通解，即可得出所求波函数
§19 -4 薛定谔方程的应用
以一维无限深势阱中粒子的运动为例，说明薛定谔方程的应用。
一、一维无限深势阱
若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。
为了简化计算，提出理想的势阱模型——无限深势阱。
1.一维无限深势阱
质量为m的粒子，被限制如图所示的势阱中，沿x方向运动，其势函数的表式为
 
在势阱外，势函数U＝∞，而粒子的能量有限，所以粒子不可能在势阱外运动，其波函数(x,t)＝0
在势阱内，势函数U＝0 ，与时间无关，所以势阱内粒子的运动方程为定态薛定谔方程：

其边值条件，(0)＝0，(a)＝0
2.求解方程
令，代入上式得

其通解
根据边界条件由 (0) =0 得 B=0，由 (a) =AsinKa = 0  得Ka = n，即

根据归一化条件

3.方程的解——波函数
在势阱外：(x,t)＝0
在势阱内：——定态
所以 
4.结果讨论
粒子运动的能量：

由 及，得

由此可见：
（1）粒子的能量量子化（量子数n由解方程而得——是必然结果）
（2）n＝1—基态能级（最低能级、零点能——与经典理论不同）

波函数和粒子的概率密度分布：
（1）粒子只能在势阱中（U＝0的区域）运动——束缚态
（2）波函数只能取一些驻波的形式（波数随级数增加）
（3）粒子出现在各波腹处概率最大，波节处概率为零
结论:
通过求解一维无限深势阱中粒子运动的薛定谔方程，可明确
（1）微观粒子运动的能量是量子化的，其最低能量（基态能量）不等于零
（2）微观粒子在空间各点出现的概率按驻波的规律分布
（3）当粒子的能量很大时（与离子的基态能量相比），其结果与经典理论相同。
二、一维势垒    隧道效应（略）
三、谐振子（略）
四、氢原子问题
1.氢原子的薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数与时间无关，所以可列出电子运动的定态薛定谔方程

为求解方程简便，采用球坐标（r，，)代替（x，y，z），而x＝rsincos，y＝ rsinsin，z＝ rcos，上式可写成

对上述方程进行分离变量后求解，并由波函数的标准条件、归一化条件确定系数，即可得到其波函数。
2. 方程的解——量子化条件和量子数
通过求解氢原子的薛定谔方程，可很自然地得到氢原子的量子化特征
（1）能量量子化、主量子数
解方程的结论之一：氢原子的能量

式中n＝1,2,3,…,称为主量子数，表明氢原子的能量是量子化的。
（2）角动量量子化、角量子数
解方程的结论之二：电子绕核运动的角动量
     l＝0,1,2,…,(n－1)
式中l 称为角量子数，也称副量子数，表明电子的角动量是量子化的。
说明：①与玻尔理论（L＝nh）不同，实验证明，以上结论是正确的
②对应不同的n，l有不同的取值范围
氢原子的角量子数与电子的状态
l 0（s） 1（p） 2（d） 3（f） 4（g） 5（h）
n＝1 1s     
n＝2 2s 2p    
n＝3 3s 3p 3d   
n＝4 4s 4p 4d 4f  
n＝5 5s 5p 5d 5f 5g 
n＝6 6s 6p 6d 6f 6g 7h
（3）角动量空间量子化、磁量子数
解方程的结论之三：角动量L的空间取向在外磁场作用下不能连续改变，若取外磁场B的方向为Z轴，角动量在Z 轴上的投影Lz只能取
  ml＝0,±1, ±2,…,±l
式中ml称为磁量子数，表明角动量的空间取向是量子化的。对于一定的l，ml可取（2l＋1）个值。
说明：①角动量L的取向量子化示意图l=1,L有三种可能取向，l=2,L有5种可能取向
②实验验证——正常塞曼效应：在外磁场的作用下，氢原子光谱的谱线出现分裂
（4）电子自旋量子数、自旋磁量子数
量子力学的计算还表明：电子自旋角动量是量子化的，自旋角动量应满足自旋量子化条件
    
式中s称为电子自旋量子数。电子自旋角动量的空间取向也是量子化，S在外磁场方向的投影Sz满足与轨道空间量子化类似的量子化条件：

   
式中ms称为自旋磁量子数。
实验验证——反常塞曼效应、斯特恩（O.Stern）—盖拉赫（W.Gerlach）实验
3. 总结
氢原子核外电子的状态可由n、l、ml、ms四个量子数来确定：
（1）主量子数（n）——n＝1,2,3,…，可大体决定原子中电子的能量
（2）角量子数（l）——l＝0,1,2,…(n-1)，决定电子绕核运动的角动量
（3）磁量子数（ml）——ml＝0,±1, ±2,…,±l ，决定电子轨道角动量在外磁场中的空间取向
（4）自旋磁量子数（ms）——ms＝±1/2 ，决定电子自旋角动量在外磁场中的空间取向
上述结论同样适用于多电子原子，考虑到多电子情形下，电子在原子中状态的分布必须遵循的两个原理：泡利不相容原理和最小能量原理，即可得出原子的电子壳层结构。

本讲小结：
一、薛定谔方程
1.薛定谔方程的一般形式——量子力学的基本方程

2.定态薛定谔方程及其解的形式

定态波函数
二、一维无限深势阱
1. 应用薛定谔方程的一般步骤；2.解方程的结论：自然得出能量量子化
三、氢原子问题
1.氢原子的薛定谔方程——定态
2.能量量子化、角动量量子化、 角动量空间（轨道取向）量子化、电子自旋取向量子化
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第11章 小结
一、明确下列问题
1.什么是绝对黑体？它是在研究____问题时提出的一个理想模型。
2.黑体辐射的实验规律最早是由______，提出________假设得到圆满解释的。
3.什么是光电效应？光电效应的实验规律最早是由______，提出________假设得到圆满解释的。
4.玻尔氢原子理论的主要内容是什么？
5.“实物粒子也具有波粒二象性”的假设是__________提出的，后来被______实验证实。
6.不确定度关系描述了实物粒子的动量和坐标、能量和时间不确定量之间的关系，造成这些量不确定的原因是_______________
7.量子力学的基本方程称为__________方程，该方程的解称为_______,其统计意义是_____________________________________。
二、理解并记忆下列基本关系
1.斯特藩—玻耳兹曼定律；
2.维恩位移定律；
3.物质波，

主要参考书目：
    1、程守洙主编：《普通物理学 第三册》第二册  高等教育出版社
    2、马文蔚主编：《物理学教程 下册》  高等教育出版社