解放军文职招聘考试第一篇力学

来源：长理培训发布时间：2017-05-30 12:21:34

第一篇力学
* 力学讨论：
物体的机械运动，是整个物理学基础，力学规律将引入热学、电磁学、波动学等
* 力学分为：
运动学：讨论物体运动的描述及规律性
动力学：讨论物体运动状态变化原因及物体间相互作用
* 第一章：
    讨论质点运动，
* 第二~四章：
    从受力、动量、角动量及能量讨论质点(系)运动原因。
* 第五章：
    讨论刚体的力学规律。
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第一章质点运动学
教学要求：
* 理解质点模型和参照系等概念。
* 掌握位置矢量、位移、速度、加速度等物理量及其关系。
* 理解自然坐标中路程、速率、切、法向加速度等物理概念。
* 理解平面极坐标中的角位置、角速度和角加速度等概念。
* 掌握笛卡儿坐标系中运动方程计算质点速度和加速度。由微积分求解直线运动中质点位置、速度和加速度。
* 了解相对运动中的位置、速度和加速度变换。
教学内容(学时：4学时)：
§1-1  质点运动的描述
§1-2  切向加速度和法向加速度自然坐标系
§1-3  圆周运动的角量描述平面极坐标系
§1-4  相对运动
作业：
1-05)、1-08)、1-10)、1-12)、1-16)、
1-18)、1-19)、1-21）、1-23）、1-25）。
----------------------------------------------------------------------------
§1-1  质点运动的描述
质点--如果研究的问题不涉及物体转动或物体各部分的相对运动，它的大小和形状可以忽略，就可以把物体当作是一个有一定质量的点，这样的点叫质点。
     能否将物体视为质点，依问题的性质而定，而不是依物体的大小而定。
参考系----为描述物体的运动而选的标准物叫参考系。
（1）为什么引入参考系：这是基于机械运动既是绝对的，又是相对的这一客观性质。绝对性指一切物体都在运动，一物体相对于不同标准物有不同的运动状态，即运动的相对性，由于运动的相对性，不首先选择参考系就无法研究运动。
（2）什么物体可选作参考系：一个不变形的或几个不变形的且无相对运动的客观物体。
（3）在运动学中可根据研究问题方便与否任意选择参考系，但在动力学中并非如此。
一位置和位移
     笛卡儿坐标系



1.位置矢量
----它是描述质点在空间位置的物理量。
选定了参考系后，在其上固定坐标系，描述质点位置可用坐标法。在直角坐标中，质点位置      用三个坐标（x,y,z）确定。
描述质点的位置，还可以用矢量方法：
                          (1-1)
                              ____质点的位置矢量（简称位矢或径矢）
位矢的大小(质点到原点O的距离):
  (1-2)

* 位矢的方向余弦:
   (1-3)
2．运动方程
质点运动方程-----就是位矢r随时间的变化规律。
     矢量形式：
    (1-4)
                              ——--- 运动方程
* 分量形式：
                       (1-5)
    （质点运动方程包含质点运动全部信息，解决质点运动学问题关键所在）
3．轨道方程
轨道为质点运动时在空间形成的轨迹，曲线方程称轨道方程。
从运动方程中消去t，即可得到轨道方程。
例如：平抛运动

消去t,得:
   (抛物线方程)
4．位移矢量
          --位移矢量是描写初时刻和终时刻质点位置变动大小和方向的物理量。
它是从初位置引向终位置的一个有向线段。如图质点作曲线运动，
质点t时刻在p1，位矢r1，时刻在p2，位矢r2，





定义位移矢量为：
                      (1-6)
按运动方程(1-4)式有：

     (1-7)
* 分量为：
                       (1-8)
* 大小为：

* 方向余弦为：

讨论：
（1）位移矢量等于终时刻的位置矢量减初时刻位置矢量，二者的顺序不能颠倒。
（2）位移和路程是两个不同的概念。
    路程s定义为在一段时间内，质点所经历的轨迹的长度，它是标量。位移矢量定义为在一段时间内，从初位置引向终位置的一个有向线段，它是矢量。

例如：物体运动轨迹是曲线，则路程是弧长Δs,位移是Δr,一般情况
        |Δr|<|Δs|。
只有：质点从A点运动B点的时间间隔Δt→0时，|dr|=|Δs|。
         质点沿同一方向作直线运动时，|Δr|=|Δs|。
（3）位移和位置矢量都和参考系有关，位置矢量还和参考点的选择有关，但位移却与参考点的选择无关。

以车为参考系，Δt时间内虫对车的位移为Δr2 。
以地为参考系，Δt时间内虫对地的位移为Δr3 。
                      Δr3=Δr1+Δr2
（4）位移和位置矢量虽然都是矢量，但它们的物理意义是不同的。
     位置矢量与时刻相对应，而位移与时间间隔相对应。
二速度
--描述质点运动的快慢和运动的方向的物理量。





1.平均速度
把质点的位移Δr与所经历的时间间隔Δt之比，叫平均速度。
  （矢量） (1-9)

* 方向为：
质点位移的方向。
* 分量为：
       (1-10)

2.瞬时速度
定义时的平均速度的极限为瞬时速度（简称速度）
             （矢量） (1-11)
  可见：速度为位矢对时间的变化率。
  讨论:
(1) 速度方向：

可见：时趋于轨道切线方向------速度方向沿着轨道切向，且指向前进一侧     ------质点的运动方向。
    把(1-5)式代入(1-11)式，注意i、j、k为常量，有：
                         (1-12)
          (1-13)
(2) 速度的大小和方向余弦可以由它的三个分量确定。
                              (1-14)
(3) 速率：
平均速率定义为：

瞬时速率（速率）定义为路程对时间的变化率：

由于在时，而dt是正量，所以：

结论：瞬时速率等于速度矢量的大小。
3.位移公式
由式(1-11)可得

积分

    即
                      (1-15)
—— 位移公式
把(1-4)式和(1-13)式代入(1-15)式，可得：
                  (1-16)
三加速度
           --加速度是描述质点速度的大小和方向变化快慢的物理量。








1.平均加速度
质点速度的增量与产生此增量所需时间间隔的比值。
        (1-17)
平均加速度是矢量：大小为||。
        方向为Δv的方向。
2.瞬时加速度
        定义时的平均加速度的极限为瞬时加速度
  (1-18)
讨论：
(1)加速度矢量a的方向为时速度变化的极限方向。
  (2)在直线运动中，加速度方向与速度方向相同或相反，
相同时速率增加，如自由落体运动，
相反时速率减小，如上抛运动。
(3)在曲线运动中，加速度方向与速度方向并不一致，如斜抛运动。
把(1-13)式代入(1-18)式可得分量：
    (1-19)
由加速度三个分量可以确定加速度的大小和方向余弦。
3．速度公式
               由，得：

积分：
                         (1-20)
分量形式为：
           (1-21)
  * 匀加速运动
速度公式为：

或
          (1-22)
位移公式为：

或
                   (1-23)
4．质点运动学问题分类
* 第一类运动学问题
已知质点的运动方程，
求质点速度v和加速度a。
主要是按速度和加速度的定义通过求导来解决。
* 第二类运动学问题
已知质点加速度及初始条件t=0时位矢r0和速度v0，
求质点的速度v和位矢r。
主要通过速度公式和位移公式通过积分来解决。
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例1.1  质点在Oxy平面内运动，运动方程为
( A、w为正常量)，
求: 质点的轨道方程及质点在任意t时位矢、速度和加速度的大小和方向。

解：（第一类运动学问题）
质点运动方程的分量形式为

联立消去t可得到轨迹方程

(圆的方程，圆心O，半径A, 质点在作圆周运动)
位矢大小为:

位矢方向为:
   (1)
质点速度为:

速度的分量为:

故速度大小即速率为:

(常量，质点作匀速率圆周运动)
质点速度方向为:
                     (2)
比较(1)(2)式,速度和位矢的斜率的积为–1，即速度v和位矢r垂直，速度沿圆周的切线方向
质点的加速度为

(可见加速度方向与位矢相反，即指向圆心)
加速度的大小为
                  (常量)
例1.2  如图，河岸有人在h处通过定滑轮以速度v0收绳拉船靠岸。
求船在距岸边为x处时的速度和加速度。

解：（第一类运动学问题）
如图建立坐标，小船到岸边距离为x，绳子长度为l，则有
(1)
得:

_____小船的运动方程(其中l是t的函数)
小船的速度为:

(推导中用到，负号表示绳子的长度在缩短)
小船的加速度为

(推导中用到，即为小船的速度)
(如果把(1)式看作运动方程的隐式，用隐函数求导的方法求速度和加速度会简便一些)
将(1)两边同时对时间t求导可得:

(注意到上式中，=v )
故有:
                 (2)
解得:

再将(2)式对时间求导得到:

(其中为船的加速度)
故有:

解得:

例1.3  如图，一质点在Oxy平面内斜上抛，忽略空气阻力，
加速度为，方向向下。t=0时质点位置在处，初速度大小为，仰角为。
求: 质点在任意t时的速度和位矢的两个分量。

解：质点加速度的两个分量为:

初速度的分量为:

按速度公式有:


按位移公式有:

此题也可直接用匀加速运动公式(1-23)和(1-24)的分量式得到结果
例1.4 一质点沿x轴运动，其速度与位置的关系为，其中k为一正常量。若t=0时质点在处，求任意t时质点的位置、速度和加速度。
解：（第二类运动学问题）
按题意有，按速度定义改写为:
(一阶微分方程)
可以通过分离变量法求解,有:

对方程积分，按题意t=0时质点位置在x0，
又设t时质点位置在x，
有:

积分得:

解出质点位置为:

质点速度为:

质点加速度为:

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§1-2  切向加速度和法向加速度自然坐标系
笛卡尔坐标系普遍使用，在有的问题中并不是最简捷的方法。
自然坐标系--以某动点为原点，以轨道切向单位矢量和法向单位矢量为垂直轴的二维坐标系。它特别适于描述圆周运动加速度。
一圆周运动的切向加速度和法向加速度





如图，把分解为两个分矢量:

除以过程的时间间隔，并令，有：

记作:                 (1-24)
其中:
      (1-25)
—— 法向加速度
           (1-26)
—— 切向加速度
讨论
1．法向加速度
（与匀速率圆周运动中讨论向心加速度过程相同）
图中（a）位矢r和位移的等腰三角形
与图(b)中速度v和速度增量构成等腰三角形相似，
有:

式中: 为质点在p1处的速率v，为位矢大小即圆半径R，
故可记作:

两边同除以,并令,得:

按式(1-26)，为法向加速度大小，
而为速度大小即速率v，因而简化为

于是法向加速度大小为:
(1-27)
方向: 与速度v垂直即指向圆心
（故称为向心加速度即法向加速度）
2．切向加速度
按上图可看到的分量的大小等于速率的增量，
记作：

同除以并令有：

若质点速率减少，则增量分解按下图。

若令则极限方向应与速度v方向相反，
（即逆着速度v的方向）
综上，其值表示为：
  (1-28)
当质点速率增加时，表示沿着速度v的方向；
当质点速率减小时，表示逆着速度v的方向。
讨论：
（1）可见圆周运动的加速度可分为相互正交的切向分量和法向分量。

（2）切向加速度是由于质点速度大小的变化而引起的。
法向加速度是由于质点速度方向的变化的而引起的。
（3）变速圆周运动，由于速度的大小和方向都在变化，质点加速度的方向不再指向圆心。
大小为：
            (1-29)
方向为：
质点加速度与速度的夹角j满足
                (1-30)


二一般曲线运动的切向加速度和法向加速度
  质点作一般曲线运动时，轨道上任一点附近的一段极小的线元可看着是某个圆的一段圆弧，这个圆叫做轨道在该点的曲率圆。当质点运动到这一点时，其运动可以看作是在曲率圆上进行的。

质点运动到p点时，轨道在p点的曲率圆如图，设曲率圆的曲率半径为r



  自然坐标系
（曲率圆曲率中心曲率半径曲率概念）
1．路程：
                   (1-31)
——质点的运动方程。
2．速度
速度大小（速率）
                 (1-32)
速度方向：沿轨道的切向并指向运动方向。
3．加速度
法向加速度和切向加速度：
   （ r ---曲率半径）   (1-28)

                     (1-29)
加速度大小：

加速度方向：与速度的夹角

例1.5 一质点沿一半径为R的圆周运动，路程，其中和b为正常量，求任意时刻t质点的速率和加速度的大小。
解：质点的速率为：

质点的切向加速度为：

质点的法向加速度为：

质点加速度的大小为：

例1.6 一质点作斜上抛运动，初速率为，仰角为a，见图，
求质点轨道在起点p1和顶点p2的曲率半径。

解：质点的法向加速度

（其中R为曲率半径）
对于p1点，加速度g向下，法向加速度

速率为，故有：

由此求得p1点轨道的曲率半径为

对于p2点，加速度g向下：

质点速率为：

故有：

解得p2点的曲率半径为：

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§1-3  圆周运动的角量描述平面极坐标系
一圆周运动的角量描述
   平面极坐标系的概念



1.角位置：
-----描述质点的位置的物理量，单位为弧度。
设一质点在oxy平面作半径为r的圆周运动，则质点的位置仅用角θ即可确定。
θ称为质点的角位置，规定当矢径从ox轴开始沿逆时针方向转动时，θ为正，反之为负。
θ随时间的变化关系式样       (1-34)
_____叫角量运动方程
2．角位移:
------描述质点的位置变动情况的物理量
设质点绕过o点定轴作转动，t时刻角位置为θ0，t+Δt时刻为θ
角位移的大小为：   ，     (1-35)
角位移的方向：沿转动轴线，按右手螺旋法则来确定。即右手四指弯曲的方向和质点转动方向一致，而拇指的指向就是角位移的方向。
对于定轴转动，由于只有两个转动方向，因此可用正负号来表示角位移的方向。一般以逆时针转动方向为正方向，顺时针转动方向为负方向。

3. 平均角速度:

4. 瞬时角速度(角速度)
------描述质点位置变动的快慢和方向的物理量

    (1-36)
（1）角速度ω的方向与角位移dθ的方向一致。
（2）对于定轴转动，可用正负号来表示角速度的方向。
5．角加速度：
------描述质点角速度变化的快慢和方向的物理量
角加速度定义：角速度ω随时间的变化率
         (1-37)
（1）角加速度α的方向与dω的方向一致。
（2）对于定轴转动，α只有沿轴的两个方向，可用正负号来表示角加速度的方向。
（3）角加速度α的方向与ω的方向一致，是加速转动。
     角加速度α的方向与ω的方向相反，是减速转动。
6．角位移公式：
         (1-38)
7. 角速度公式：
             (1-39)
8. 匀角加速运动:
* 角速度公式为：

或
           (1-40)
把(1-40)式代入(1-38)式得:
* 角位移公式为：

或
              (1-41)
((1-40)和(1-41)称为匀角加速运动公式)
二角量和线量的关系
(质点的圆周运动常用平面极坐标系和自然坐标系描述)
* 角量描述: 用角位置、角速度和角加速度等描述圆周运动(极坐标系);
* 线量描述: 用路程、速率、切向法向加速度等描述圆周运动(自然坐标)。
   设质点作半径为R的圆周运动，如图p点为路程起点，

1.路程和角位置的关系：
             (1-42)
若时刻质点运动到p2点，时间内走的路程为，角位移为，则有:

2.速率和角速度的关系：
将（1-42）式对t求导得到质点速率。
         (1-43)
再对t求导得质点的切向加速度。
3．切向加速度：
        (1-44)
4．法向加速度：
     (1-45)
注意：方向变化！
式(1-42)和(1-43)中和可能为负值，式中s和v也为负值，若s、v及为负表示与所设正方向反向。
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例1.7 一质点沿半径为R的圆周运动，运动方程为，其中和k为正常量，求任意t时刻质点的速率、切向加速度和法向加速度。
解：任意t时刻质点的角速度为：

角加速度为：

速率为：

切向加速度为：

法向加速度为：

例1.8  一质点沿半径的圆周运动，t= 0时质点位置，质点角速度，若质点角加速度，
求：时质点的速率，切向加速度和法向加速度。
解：按角速度公式，质点在s时的质点的角速度为：

速率为：
          1
切向加速度为：

法向加速度为：

例1.9 一质点从静止开始作匀角加速运动，角加速度为，
请问：当质点的法向加速度等于切向加速度时,质点的角速度多大？此时质点已运动多长时间？转过多大角度？
解：按题意要求有：

即有：

可得：

按匀角加速运动角速度公式
可得：

再由匀角加速运动角位移公式，得质点转过角度为：

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§1-4  相对运动
在不同参考系中考察同一物体运动，其描述将不相同---——运动的相对性。
（笛卡尔坐标系讨论，两个坐标系x、y、z指向始终相同）
一相对位置和相对位移
两个坐标系Oxyz和（简称k系和系）

（k系位矢，系位矢，系相对于k系位矢）
在图中可见三个位矢相对关系为：
                   (1-46)
—— 运动的相对性
—— 位置变换
分量表示：

—— 坐标变换
若运动质点t时刻的位置在p1点，有：

在时刻质点位置在在p2点，有：

两式相减，得：
               (1-47)
                  —— 位移变换
其中：、、分别是对k系、系的位移及系对k系的位移
把 (1-7)式    代入
得分量表示为：

……
二相对速度和相对加速度
  把(1-46)式对时间求导，可得:
          (1-48)
                          —— 速度变换
把 (1-14)式代入可得分量表示：

……
把(1-48)式对时间t求导，得加速度变换:
(1-49)
分量表示为:

……
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简记:

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例1.10 如图，一物体在t=0从O点以初速率v0，仰角斜上抛，同时有一辆作匀速直线运动的汽车通过O点，车速为u。
求：在车上测得的物体运动方程、速度和加速度，当车速u为多大，车上人会认为物体在作上抛运动。

解：如图在地面设立坐标系Oxy，在车上设立坐标系。
物体相对于地面为斜上抛运动，
故物体对地面参考系Oxy的位置为：
           (1)
                         (2)
汽车相对于地面为匀速直线运动，
故汽车对地面参考系的位置为：


按相对运动的位置变换，物体对汽车参考系的位置，也即汽车上测得的物体的运动方程为：


汽车上测得物体的速度为：

汽车上测得物体的加速度为：


可见汽车上测得物体位置和速度与地面上测得不相同，而加速度测值却相同，都是重力加速度g，方向向下。
若汽车测得物体作上抛运动，则应有，
按(1)式有：
             （此时）
  而由(2)式可知依然为

例1.11  一火车在雨中向东行驶。当火车停下时，乘客发现雨速度与竖直方向成角且偏向车头，当火车以行驶时，雨速度与竖直方向成角且偏向车屋，
求：雨对地的速度的大小。

解：按题意，雨对地的速度方向为向下偏东（见图(a)），
车对地的速度方向向东，大小为，雨对车的速度方向为向下偏西，按相对运动的速度变换，它们之间的关系为：

即这三个矢量应组成一个三角形（如图 (b)）。
这是一个直角三角形且两个锐角分别为和，
故雨对地的速度的大小为：

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内容提要
一质点运动的描述
            （在笛卡尔坐标系中）
1 位置和位移
* 位置矢量：

* 运动方程：

分量形式：

* 位移：

分量形式：

2 速度
* 平均速度：

* 速度：

分量：

* 位移公式：

3 加速度
* 平均加速度:

* 加速度:

分量：

* 速度公式:

4 匀加速运动公式

二切向加速度和法向加速度
（在自然坐标系中，以运动方向为正方向）
1 路程(运动方程)：

2 速率：

(速度沿轨道切向并指向前进一侧)
3 加速度：
* 切向加速度:

(方向沿轨道切向)
* 法向加速度:

(方向指向轨道的曲率中心)
* 加速度:
大小:

方向：
加速度与速度的夹角满足