解放军文职招聘考试第六章样本及抽样分布2

 
第六章样本及抽样分布

[本章要求]

1. 理解数理统计的思想方法，会用这种方法做题，以至于深入研究其它知识。
  2. 掌握本章介绍的u分布，分布，t分布和F分布。
  3. 掌握单个总体的t分布和两个总体的t分布。

[内容提要与疑难解析]

一、数理统计的内容及思想方法

数理统计分为三个阶段，初级阶段也就是本科要学的内容，有参数估计、假设检验、方差分析、回归分析。中级阶段也就是硕士研究生要学的内容，有多元统计、正交设计、随机过程、时间序列分析。高级阶段也就是科研人员研究的问题有抽样理论、质量控制、可靠性理论、统计决策。
数理统计是以概率为基础，以统计为手段利用抽样方法对样本进行测试，并根据对测试结果的分析研究得出总体情况的判断的一门科学。在研究样本时有的是在大规模生产线上抽样，有的是破坏性的研究，因此要避免浪费人力、物力及资源，必须用局部代替全局。用局部的各种值估计全局的各种值，用局部具有的性质代替全局的性质，这种作法可能会有误差，但大量取样时，这个误差不会太大，甚至于取样个数趋于无穷时，这个误差为零的概率为1。

二、有关的概念

1.总体、个体：研究对象的某项数量指标的值的全体。总体中每个元素称为个体。
2.简单随机抽样：从总体中一个个体，称为一次试验。每个个体在一次试验中被抽到的机会均相等，而且从总体中抽取一个个体后，余下部分的分布和原总体的分布是一样的。当总体中有无限个个体时，认为是不放回取样 ；当总体中有有限个个体时，认为是放回取样。
3.样本、样本值、容量：从总体中用简单随机抽样的方法抽出n个个体，这n个个体相互之间是相互独立的，即抽取第一个时不影响第二个，抽取第二个时不受第一个影响，同时也不影响第三个。每一个个体可以看作一个随机变量，因为看作第一个个体在总体中哪一个都有资格同时也都有可能被抽到，因此不是固定的。且每一个都与总体同分布，其他个体也是如此，这n个个体称为一个样本，容量为n，用来表示，当取得具体值时用表示，如同函数和函数值一样。但学习了一段时间之后，也就不区分了，一律用小写表示，表示双重含义，也就自然了。
4.样本矩：定义为样本的k阶原点矩，k=1时称为样本均值，即，定义为样本的k阶中心矩，k=2时是方差的极大似然估计，称为不常用的样本方差而称为常用的样本方差。
5.统计量：用样本作成的实函数形式（一般是连续函数形式），不含未知参数。上述的样本矩都是统计量。到参数估计和假设检验中，出现了含有未知参数的统计量，是否与统计量的本意相矛盾，其实是建立了除被估计参数之外不含有未知参数的统计量，这是权宜之计。

三、几种统计分布

1.u分布
  在中抽取一个样本，它们相互独立，且与总体同分布，故，，
即

2. 分布
在抽取一个样本，作平方和，相互独立， 也独立，于是分布的自由度为n。常用的是(n-1).

3.t分布
t分布是由标准正态作分子，分布除以其自由度后再开方作分母，即t=，其中，~(n)，t的自由度为n。常用的是                    ，   
两个总体的t分布，，，
             ，
 ， ，
    ，   
 ，
其中   

4. F分布
 ， ，相互独立，则 ，
常用 ，

  上述四个分布的密度函数不必深究，知道其定义、性质、查表就可以。U分布和t分布关于y轴对称，分布和F分布只在x轴正方向。
四、几种分布中应注意的问题
1.单个总体中已知方差u的分布，为知方差时的t分布，表面看来只是 “”
与“s”的区分，其实是两个不同的分布，使用时一定注意条件。而且还要注意查表的不同，正态分布查表是 ，而t分布查表是 .
2.  分布的期望和方差的推导过程。因为，，而 ， ，=.
，（相互独立，之间也独立），其中 ，    ，    令，

，
 故 ，
    3. 分布自由度的确定是根据分布中有无相互制约的随机变量而确定，例如，是由于中，；因此少了一个自由度，而，中没有这个约束条件，故自由度为n。分布自由度有如下性质，若与独立，其和+=
4.  t分布自由度超过45，可以用正态分布代替，分布当自由度超过45，由一个关系式转换成正态分布 。      。           
5.  f分布当很大时，在表中不出现，可以倒数关系转换
             

 

[典型例题]
   
 例1   在总体随机抽一容量为5的样本，(1).求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。(2).求概率  (3). 求概率
 解  (1).X~N（12，4），
            

 (2).=         (3).

 

例2已知。
       解   由，可知由X分子是标准正态，分母是分布组成，即.

 例3  设为来自泊松分布的一个样本，分别为样本均值和样本方差，求 ，。
       解  ==
           =
 =

 

 

例4 设在总体中抽取一容量为16的样本，这里均为未知，(1).求 其中为样本方差，(2).求。
解  (1).==

(2).，
故 =

     例5   设是一样本值，令=0，=，证明递推公式=
     证明 ：，
                   故 ，两边分别除以k得
           

例 6    设总体X~是来自总体的一个样本，为样本均值，试问样本大小应取多大，才能使以下各式成立：
(1).
(2).
(3).
解  (1). =，
    (2). X~
       设
        
     故
     取n=255
 (3).  ，查标准正态表0.95对应1.96，
          n，取n=16

例7设且相互独立，记为前几个样本的均值与方差，求证：T=
解   ，，

 

例8