解放军文职招聘考试第一章 随机事件及其概率

 第一章 随机事件及其概率
一、随机事件及其运算
1. 样本空间、随机事件
①样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；
②样本空间：样本点的全集，用表示；
注：样本空间不唯一.
③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示；
④必然事件就等于样本空间；不可能事件是不包含任何样本点的空集；
⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。

2. 事件的四种关系
①包含关系：，事件A发生必有事件B发生；
②等价关系：， 事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A 发生；
③互不相容（互斥）：  ，事件A与事件B一定不会同时发生。
④互逆关系（对立）：，事件发生事件A 必不发生，反之也成立；
互逆满足
注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）
3. 事件的三大运算
①事件的并：，事件A与事件B至少有一个发生。若，则；
②事件的交：，事件A与事件B都发生；
③事件的差：，事件A发生且事件B不发生。
4. 事件的运算规律
①交换律：
②结合律：
③分配律：
④德摩根（De Morgan）定律：

  对于n个事件，有

二、随机事件的概率定义和性质
1．公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件
都有确定的实值P(A)，满足下列性质：
(1) 非负性：
(2) 规范性：
(3)有限可加性(概率加法公式)：
对于k个互不相容事件，有.
则称P(A)为随机事件A的概率.
2．概率的性质
①
②
③若，则
④

注：性质的逆命题不一定成立的. 如
若则。（×）
若，则。（×）
三、古典概型的概率计算
古典概型：若随机试验满足两个条件：
①只有有限个样本点,
② 每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,。
典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则
(1)在放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为

(2)在不放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为

四、条件概率及其三大公式
1.条件概率：
2.乘法公式：

4.全概率公式：
若，则。
5.贝叶斯公式：若事件如全概率公式所述，且  .
五、事件的独立
1. 定义：.
推广：若相互独立，
2. 在四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。
3. 三个事件A, B, C两两独立：

注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立两两独立，反之不成立。）
4.伯努利概型：
练习：
一、判断正误
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则。（X）
3.。 (X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。(∨)
5. n个事件若满足，则n个事件相互独立。(X)
6. 当时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
二、选择题
1．设A, B为两事件，则P(A-B)等于 (   C  )
      A.  P(A)-P(B)                 B.  P(A)-P(B)+P(AB)
      C.  P(A)-P(AB)                D.  P(A)+P(B)-P(AB)
2． 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 (  D  )
A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”
B. “甲乙两种产品均畅销”
C. “甲种产品滞销”
      D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”
3．若A, B为两随机事件，且，则下列式子正确的是 (  A  )
      A.  P(A∪B)=P(A)              B.  P(AB)=P(A)
      C.  P(B|A)=P(B)               D.  P(B-A)=P(B)-P(A)
4．设，则等于 (  B  )
      A.                    B. 
      C.                    D. 
三、解答题
1.
解：(1) 因为A，B不相容，有
所以
(2) 因为A，B独立，所以

,
2.已知且求的值.
解：由概率乘法公式得   

3. 设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表, 其中女生的报名表分别为3份,7份和5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.
求先抽到的一份是女生表的概率p。
解: 设表示“第i次取出的报名表是女生表”, i=1,2
表示“报名表是取自第j区的考生”,  j=1,2,3.
根据题意得

第二章  随机变量及其分布
一、随机变量的定义
设样本空间为，变量为定义在上的单值实值函数，则称为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
二、分布函数及其性质
1. 定义：设随机变量，对于任意实数，函数称为随机变量的概率分布函数，简称分布函数。
注：当时，
(1)X是离散随机变量，并有概率函数则有

(2) X连续随机变量，并有概率密度f (x)，则
.
2. 分布函数性质：
（1）F(x)是单调非减函数，即对于任意x1 <x2，有；
（2）；且；
（3）离散随机变量X，F (x)是右连续函数, 即；
  连续随机变量X，F (x)在（-∞，+∞）上处处连续。
注：一个函数若满足上述3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。
三、离散随机变量及其分布
1. 定义.  设随机变量X只能取得有限个数值，或可列无穷多个数值
且，则称X为离散随机变量, pi (i=1,2,…)为X的概率分布，或概率函数 (分布律).
注：概率函数pi的性质:

2. 几种常见的离散随机变量的分布：
（1）超几何分布，X~H(N,M,n)，
（2）二项分布，X~B(n.,p)，
当n=1时称X服从参数为p的两点分布（或0－1分布）。
若Xi(i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立，则服从二项分布。
（3）泊松(Poisson)分布，，
四、连续随机变量及其分布
1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I，且存在非负函数f(x)，使得对于任意区间，有则称X为连续随机变量; 函数f (x)称为连续随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。
注1：连续随机变量X任取某一确定值的概率等于0, 即
注2：
2. 概率密度f (x)的性质： 
性质1：
性质2：
注1：一个函数若满足上述2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。
注2：当时，
且在f(x)的连续点x处，有
3.几种常见的连续随机变量的分布：
(1) 均匀分布 ，

(2) 指数分布,

(3) 正态分布 ，

练习题：
一、判断正误：
1. 概率函数与密度函数是同一个概念。（ X ）
2.当N充分大时，超几何分布H (n, M, N)可近似成泊松分布。( X )
3.设X是随机变量，有。( X )
4.若的密度函数为=，则 ( X )
二、选择题
1.设离散随机变量X的概率函数为，则c的值为( C )
A.          B.       C.          D.
2.设在[a, b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a, b]外，f(x)=0，则区间[a,b]等于：( A )
     A.       B.       C.       D.
3.设随机变量X~B(2, p), 随机变量Y~B(3, p),若P(X≥1)=5/9, 则
P(Y≥1)=(  B  ).
A. 1/27;     B. 19/27;       C. 1/9;         D.7/9

三、解答题
1. 口袋中有7个白球，3个黑球.
(1) 每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X的概率分布；
(2) 如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，求此时X的概率分布.
解：X的首次取到白球的取球次数，则X的可能取值为1, 2, 3, 4，记Ai为“第i次取出的球为黑球” i=1,2,…，10.
(1)由乘法公式得

 

故X的概率分布为

  X     1     2      3      4
  P 7/10   7/30  7/120   1/120

(2) 如果取出黑球不放回，而另外放入一个白球，则由乘法公式得：

 

故X的概率分布为
  X  1      2       3        4
P  7/10    6/25   27/500   3/500

2． 设的概率分布是求它的分布函数。
解：当时，
当时，
当时，
故
3. 设随机变量X的概率密度为
                     
(1) 求常数A；(2) 求X的分布函数；(3) 求P(X>1)
解: (1)由概率密度的性质得

 

故A=20.
(2)当x<0时，
当0≤x<1时，
当x≥1时,
所以X的分布函数为

 

第三章 随机变量的数字特征
一、期望（或均值）
1．定义：
2．期望的性质：
 
3. 随机变量函数的数学期望

4. 计算数学期望的方法
(1) 利用数学期望的定义；
(2) 利用数学期望的性质；
常见的基本方法：
   将一个比较复杂的随机变量X 拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.
(3)利用常见分布的期望；
二、方差
1．方差
注：D(X)=E[X-E(X)]2≥0；它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。
2．方差的性质

(4) 对于任意实数C∈R，有  E ( X-C )2≥D( X )
当且仅当C = E(X)时,  E ( X-C )2取得最小值D(X).
(5) (切比雪夫不等式): 设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在,对于任意的正数有

或    
3. 计算
(1) 利用方差定义；
(2) 常用计算公式

(3) 方差的性质；
(4) 常见分布的方差.
注：常见分布的期望与方差
1. 若X～B(n, p), 则 E(X)=np, D(X) = npq;
2. 若
3. 若X～U(a, b), 则
4. 若
5. 若
三、原点矩与中心矩
（总体）X的k阶原点矩：
（总体）X的k阶中心矩：
 
练习  
一、判断正误：
1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。( X )
2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。(√)
3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。( X )
4.方差的实质是随机变量函数的期望。(√)
5.对于任意的X,Y，都有成立。( X )
二、选择题
1.则的值为（ B ）
    A.  4, 0.6；      B.  6, 0.4；     C.  8, 0.3；     D.  24, 0.1
2.随机变量X的数字期望为2，方差等于4，则E[D(X)], D[E(X)]的值分别为( D )
     A. X, X；       B. 2, 4；        C. 4, 2；          D. 4, 0.
3. 两个独立的随机变量X, Y的方差分别为4和2，则随机变量X-2Y的方差等于:( C )
     A.  0；        B.  8；       C.  12；           D. 无法计算.
4.则对于任意的常数c, 有（D ）
； 
； 
5.，则对于任意给定的有（ D ）
     
    
三、填空题
1.设则的数学期望为____ 。
四、计算题
1.设X的概率密度为

试求.
解：

故
2．游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟，从底层起行。一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上服从均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望.
 解：因故其概率密度为

由题意得

所以

第四章 正态分布
一、正态分布的定义
1. 正态分布
⑴，其概率密度为

其分布函数为            
注：.
正态密度函数的几何特性：

          

 
2. 标准正态分布
当时，其密度函数为

且其分布函数为          
的性质：

 

 

3.正态分布与标准正态分布的关系
定理：若 则.
定理：设则
二、正态分布的数字特征
设 则
1. 期望E(X)

2.方差D(X)

3.标准差
三、正态分布的性质
1．线性性. 设则；
2．可加性. 设且X和Y相互独立，则

3．线性组合性 设，且相互独立，则
四、中心极限定理
1.独立同分布的中心极限定理
设随机变量相互独立，服从相同的分布，且

则对于任何实数x，有

定理解释：若满足上述条件，有
（1）；；
（3）
2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
设则

定理解释：若当n充分大时，有
（1）；
（2）
练习：
一、判断题
1.若则（ X ）
2.若则 （ √ ）
二、选择题
1.若则（  B  ）
A．1            B. 6            C. 5            D. 无法计算
2.若且相互独立，则服从（  C ）分布.
  A.  N(0,1)        B. N(-6,-1)       C. N(-6,13)      D. N(-6, -5)
3. 设随机变量X与Y均服从正态分布：

 

三、填空题
1.已知连续随机变量X的概率密度函数为

则X的数学期望为__1____; X的方差为__1/2____.
四、计算题
1.

解：得

由独立同分布的中心极限定理，

                  

 

第五章 数理统计的基本知识
一、总体 个体 样本
1.总体：把研究对象的全体称为总体 (或母体).它是一个随机变量，记X.
2.个体：总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.
3.样本：从总体X中，随机地抽取n个个体, 称为总体X的容量为n的样本。
注：
⑴ 样本是一个n维的随机变量；
⑵ 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性：
① 代表性：中每一个与总体X有相同的分布.
 ② 独立性：是相互独立的随机变量.
4.样本的联合分布
设总体X的分布函数为F(x)，则样本的联合分布函数为

(1) 设总体X的概率密度函数为f (x), 则样本的联合密度函数为

(2) 设总体X的概率函数为, 则样本的联合概率函数为

二、统计量
1. 定义 不含总体分布中任何未知参数的样本函数称为统计量,
是的观测值.
注：（1）统计量是随机变量；
   （2）统计量不含总体分布中任何未知参数；
   （3）统计量的分布称为抽样分布.
2. 常用统计量
（1）样本矩
①样本均值 ； 其观测值   .
可用于推断：总体均值 E(X).
②样本方差 ;
其观测值    
可用于推断：总体方差D(X).
③样本标准差
 
其观测值   
④样本k 阶原点矩

其观测值   
⑤样本 k 阶中心矩

其观测值             
注：比较样本矩与总体矩，如样本均值和总体均值E(X)；样本方差与总体方差D(X)；
样本k阶原点矩与总体k阶原点矩；样本k阶中心矩与总体k阶原点矩.
前者是随机变量，后者是常数.
(2)样本矩的性质:
设总体X的数学期望和方差分别为，为样本均值、样本方差，则
        
3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布.
三、3大抽样分布 

(1)定义.设相互独立，且，则

注：若则
（2）性质（可加性）
设相互独立，且则
2. t分布
设X 与Y 相互独立,且则
注：t分布的密度图像关于t=0对称；当n充分大时，t分布趋向于标准正态分布N(0,1).
3. F分布
（1）定义. 设X与Y相互独立，且则
(2) 性质. 设则.
四、分位点
定义：对于总体X和给定的若存在，使得
则称为X分布的分位点。
注：常见分布的分位点表示方法
（1）分布的分位点
（2）分布的分位点 其性质：
（3）分布的分位点其性质
（4）N(0,1)分布的分位点有
第六章 参数估计
一、点估计
1. 定义 设为来自总体X的样本，为X中的未知参数，为样本值，构造某个统计量作为参数的估计，则称为的点估计量，为的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
二、矩估计法
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即；
② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：

③ 解上述方程（或方程组）得到的矩估计量为：

④ 的矩估计值为：

3. 矩估计法的优缺点：
  优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
  缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的低
三、最大似然估计法
1. 直观想法：在试验中，事件A的概率P(A)最大, 则A出现的可能性就大；如果事件A出现了，我们认为事件A的概率最大.
2. 定义 设总体X的概率函数或密度函数为（或），其中参数未知，则X的样本的联合概率函数（或联合密度函数）
（或）
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:
X离散：      X连续：
（2）求和似然方程：

（3）解似然方程，得到最大似然估计值：

（4）最后得到最大似然估计量：

4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
1.无偏性
设是未知参数的估计量，若，则是的无偏估计量，是的无偏估计值。
1.有效性
设和是未知参数的无偏估计量，
若，则称比有效。
练习
一、判断题
(1)若是来自总体X的样本，则相互独立. （ √）
(2)不含总体X的任何未知参数的样本函数就是统计量. ( √ )
(3)样本矩与总体矩是等价的。（ X ）
(4)矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩，故矩估计量不唯一.( X )
(5)设总体，则估计量分别是的无偏估计量.( X )
二、选择题
1.设X1,X2 ,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,则X1,X2 ,…,Xn必然满足（  C   ）.
A. 独立但分布不同；      B. 分布相同但不相互独立;
C. 独立同分布;           D. 不能确定.
2.下面不是统计量的是（  D  ）
 
3. 若且X，Y相互独立，则服从（  A  ）分布.
A.  F(1,4)        B. t(2)           C. N(0,1)        D. F(4, 1)
4. 设总体, 是来自X的样本，则估计量的分别为（   D  ）
A．        B.         C.       D. 
5.设则
A．1.96；          B.0.05;            C.0.025;          D.0.95
三、计算题
1.设总体是来自X的样本，
（1）写出的联合概率密度函数；
（2）求
解：由总体其概率密度为

(1)样本的联合概率密度函数为

(2)由于相互独立，与总体同分布，故
，

.
2. 设总体X的概率密度为

是来自总体X的一个样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求参数的估计量。
解：(1) 矩估计法

用样本一阶原点矩代替总体一阶原点矩， ，即

解得
所以参数的矩估计量为.
(2) 样本的似然函数为

 

解得

从而的最大似然估计量为