解放军文职招聘考试拓扑学

 拓扑学

　　拓扑学是现代数学的基础，研究拓扑空间及其间的连续映射．在20世纪初期，分为一般拓扑学(也称点集拓扑学)及组合拓扑学．一般拓扑学讨论点集的一般的拓扑性质，如开、闭性、紧性、可分性、连通性等等．它们的具体体现可追溯到很久以前，但抽象化的定义则是20世纪的事情．最早的拓扑概念在康托尔、拜尔(Baire1874—193z)及若尔当等人著作中已经出现，1906年弗雷歇正式提出非度量的抽象空间，同时黎斯也提出“聚点”的公理化定义，然后用它定义邻域，但真正从邻域出发定义拓扑的是豪斯道夫(F．Hausdorff，1868—1942)，他在1914年的《集论大纲》中通过邻域定义所谓豪斯道夫空间以及开集、闭集、边界、极限等概念，从而正式形成了一般拓扑学的分支．另一种不通过度量定义拓扑的方法是库拉托夫斯基(C．Kurat－owski，1895—1980)在1922年提出来的，他用闭包概念定义拓扑．1923年，蒂茨(H．Tietze，1880—1964)以开集做为定义拓扑的中心概念，现在通用的公理首先是亚历山大洛夫(П．С．Александров，1896—1982)在1925年提出来的．豪斯道夫在他的书的第二版《集论》中加以总结，使—般拓扑学的表述得以确立下来．

　　使组合拓扑学成为一个重要的数学分支的是庞加莱．他在1881年到1886年在微分方程定性理论以及后来天体力学的研究中，都有意识地发展拓扑的思想．他从1892年起对拓扑学开始进行系统地研究．在1895年到1904年发表的关于“位置分析”的六篇论文中，他创造了组合拓扑学的基本方法并引进重要的不变量，同调及贝蒂数(1895)、基本群(1895)、挠系数(1899)，并进行具体计算．他还证明了庞加莱对偶定理的最初形式．1904年他提出了著名的庞加莱猜想；单连通、闭(定向)三维流形同胚于球面．他有意识地研究两个闭流形(首先是三维流形)同胚的条件．在他的第二篇补充(1900)中，曾猜想如果两个闭流形的贝蒂数及挠系数对应相等，则它们同胚．但不久(1904)他自己就举出反例，因而他进一步把基本群考虑进去．1919年美国数学家亚力山大(J.w.Alexander，1888—1971)举出两种透镜空间，证明它们贝蒂数、挠系数和基本群对应相等，但仍不同胚．至今三维流形的同胚问题尚未解决．

　　布劳威尔继庞加莱之后对拓扑学做出突出贡献，创造单纯逼进方法，使拓扑学的证明有了严格的基础．1915年亚历山大证明贝蒂数及挠系数的拓扑不变性．对偶定理是拓扑不变量之间关系的重要方面，1922年亚力山大证明亚历山大对偶定理，是对庞加莱对偶定理的重要补充及发展．1930年，列夫希兹(S．Lefsc－hetz，1884—1972)证明列夫希兹对偶定理，以上述两定理为其特殊情形．

　　对基本的拓扑不变量加以改造，早在1908年蒂茨的文章中已经开始，他和其他人开始考虑整数以外的系数，如模p系数及有理数．1926年亚历山大引进Zn系数．1925年底到1926年初，诺特同亚历山大洛夫等拓扑学家接触时，曾建议把组合拓扑学建立在群论基础上，在她的影响下，浩普夫(H．Hopf，1894—1971)于1928年定义同调群，但诺特的思想直到以后才逐步为大家了解和接受．1935年切赫(E．Cech，1893—1960)考虑系数取在任何交换群中．

　　二十年代起，数学家曾试图把同调论从流形逐步推广到更一般的拓扑空间．先是维埃陶瑞斯(L.Vietoris，1891—)(1927)、亚历山大洛夫(1928)等人推广到紧度量空间，继而切赫推广到一般拓扑空间(1932)，即所谓切赫同调论．同时列夫希兹发展了奇异同调论．这是两个最重要的同调理论．在代数与几何的对偶观念的影响下，许多数学家在三十年代初提出同调群的对偶观念——上同调群．除了同调群和上同调的加法结构外，许多人从各个角度寻找其中的乘法结构，列夫希兹和浩普夫在1930年左右研究流形的交口环．1935年到1938年亚力山大、切赫、惠特尼(H．Whitney，1907—1989)、柯尔莫哥洛夫(А．Н．Колмогоров，1903—1987)等人独立引进复形的上积．后来才证明(1952)一般同调不一定有上同调那种自然的乘法．上同调具有环的结构，带来更多的应用．1947年，斯廷洛德(N．Steenrod，1910—1971)定义了平方运算，后来发展成上同调运算的理论．

　　同样在三十年代，另一个更广泛的概念——同伦产生了．同伦观念的重点由拓扑空间的性质转移到空间与空间的映射的性质上．1895年庞加莱定义的基本群是第一个同伦群．其后布劳威尔、浩普夫等人对于球面到球面的映射进行过初步的研究，得出拓扑度的概念．尤其是1931年浩普夫映射的发现促使人们注意连续映射的研究．1932年，切赫在国际数学家大会上定义了高维同伦群，但未引起注意．1933年波兰数学家虎尔维兹(W．Hure- wicz，1904—1956)对连续映射进行研究，在1935—1936年发表四篇论文，定义了高维同伦群并研究了其基本性质．虎尔维兹还定义了伦型的概念，由于当时所知的大多数拓扑不变量均为伦型不变量，使同伦论的研究有了巨大的推动力．1942年列夫希兹的《代数拓扑学》问世，标志着组合拓扑学正式转变为代数拓扑学．