解放军文职招聘考试测度与积分理论

 测度与积分理论

　　测度是长度、面积和体积概念的精密化及推广．各民族数学发展一开始均致力于测量长度和面积，得出相应的公式及方法，而统一的求积方法一直到牛顿和莱布尼茨建立微积分之后才得到．这时求积问题变成一个特殊的积分问题．但积分是一个相当复杂的概念，19世纪由于分析的严格化才导致由柯西、黎曼及达布相继改进的黎曼积分的概念，最后确定下来．

　　随着康托尔点集论的建立，要求对更一般的点集的“大小”进行比较及量度，这要求定义测度．先是对黎曼可积性条件中函数的不连续点集的“测度”给出定义．最早是哈那克(A．Harnack，1851—1888)、杜布瓦—瑞芒(P．du Bois Rey－mond，1831—1889)、史托尔茨(O．Stolz，1842—1905)及康托尔在1881到1885试着做出定义，他们均采用覆盖区间长度的下确界，但是这样定义有毛病．例如，两个无公共点集的并集的“测度”有时能够小于两集的“测度”之和，除了上述定义的“外”测度之外，最先定义“内”测度的是皮亚诺，他在1887年定义“可测”集为内、外测度相等，这样虽然克服上述困难，但有界开集并不一定可测．若尔当在他的《分析教程》第一卷第二版(1893)中也做了类似的定义，同样也有类似的毛病．对这些毛病的补救来自波莱尔(E．Borel，1871—1956)，他在《函数论教程》中大大改进了以前的测度观念，利用可数可加性对任一有界开集构造地定义测度．他还考虑零测度集(实际上这个观念可以追溯到黎曼)．而真正把波莱尔的方法同皮亚诺—若尔当的办法结合而形成系统测度论的则是波莱尔的学生勒贝格，这些发表在他的博士论文《积分、长度、面积》当中．

　　勒贝格的功绩不仅在于建立系统的测度理论，更主要的是建立系统的积分理论．在勒贝格之前，除了黎曼积分之外，还有斯蒂尔吉斯(T．J．Stieltjes，1856—1894)积分．斯蒂尔吉斯在1894年发表的“连分式的研究”中证明：如连分式

　 数F(Z)，F(Z)可表

为

 曼积分对于一般的数学分析已经足够，但是还有一系列不理想的地方．

　　微积分的基本定理是微分和积分互为逆运算，也就是说如果

　　则导数F′(x)存在，而且等于f(x)，至少在f光滑的点是如此．但是1881年沃尔泰拉(V．Volterra，1860—1940)还在比萨大学做学生时，发现一个例子：一个函数F在(0，1)区间上定义有界，其导数f＝F′处处存在，但是在当时流行的积分——黎曼可积的意义是不可积的．因此，需要定义一种积分，它可以在更广的一类函数上定义，而且使微分和积分成为互逆的运算．另外对这种积分还希望收敛级数可以逐项积分．勒贝格在他的1902年学位论文中迈出新的一步，他定义勒贝格积分与以前定义积分的方式不同，以前是先定义积分，然后由积分得到“测度”，勒贝格与此相反，他先定义测度，然后定义积分．他定义积分时，不去把自变量的区间加以区分，而把因变量y的区间(对于实函数来说是R的子集)加以重分(成有限个区间)，再仿照通常的办法定义积分，这样就可以使一些很坏的函数也成为勒贝格可积的，最明显的例子就是狄利克雷函数．这样，大大扩充了可积函数的范围．另外如果勒贝格可积函数同时也黎曼可积，则两个积分相等．并且与一些极限运算可以交换，而且可以推广到高维．

　　勒贝格积分虽然能解决沃尔泰拉原来的问题，但并不足够一般以致能够使所有具有有限导数f(x)＝F′(x)的函数F(x)的导数f(x)=F′(x)都可积．为此，法国数学家当日瓦(A．Denjoy，1884—1974)在1912年和德国数学家佩隆(O．Per－ron，1880—1975)在1914年分别设计了以他们各自的姓定义的积分．其后鲁金(H．H．Лузин，1883—1950)给出描述性定义，这三者是等价的．

　　1915年法国数学家弗雷歇把积分扩张到抽象集合的泛函上．他的模式取自1913年奥地利数学家拉东(J．Radon，1887—1956)的工作，其中引进集函数．他实际上综合了斯蒂尔吉斯积分与勒贝格在1910年把勒贝格测度论推广到高维(三维及三维以上)欧氏空间的研究．勒贝格通过可测函数的积分定义一个集函数，证明它是完全可加的而且绝对连续的．不过他只有点函数观念，而拉东则利用集函数定义拉东测度．1930年波兰数学家尼古丁(O．Nikodyn，1887—1974)对抽象测度论完成了1910年勒贝格定理在抽象测度论的推广，最终完成抽象测度论的建立．它不仅构成概率论的基础，同时也是抽象调和分析、谱理论等分支不可少的前提．