解放军文职招聘考试现代数学概观——二十世纪的数学

 现代数学概观——二十世纪的数学

　　19世纪末到20世纪初，数学也像物理学一样，迎来了一个激烈的变革时期．一方面人们开始接受康托尔的集合论作为统一数学的基础，但不久又在其中发现有悖论，从而出现了严重的数学危机．另一方面，作为未来数学的主要方法——公理化方法由希尔伯特所奠定，他在1899年发表的《几何学基础》(Grundlagen der Geometrie)对于二十世纪的数学给予很大的启示．在他的推动下，形成了一个小小的公理化热潮．1900年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出著名的23个问题，其重点是数学基础及公理化问题，但其他大部分问题，是继承19世纪的数学传统，虽有继往开来的作用，但与20世纪数学的主要发展路线关系不太密切．20世纪初，数学越来越趋于抽象化，抽象群论的研究、法国数学家勒贝格(H．Lebesgue，1875—1941)的测度论和积分论、希尔伯特的积分方程理论、法国数学家弗瑞歇(M．Fréchet，1878—1973)的抽象空间理论、代数学的一些公理化理论相继出现，连同组合拓扑学的建立，预示着以代数学和拓扑学为中心的现代数学翻天覆地的变化．泛函分析的出现大大改变了分析的面貌，而且给量子物理学准备了现成的工具．与以前的数学比较，20世纪数学有如下特点：

　　1．数学不再只是数论、代数、几何、分析几个相对独立的部分，而是随着集合论的出现涌现出大量的新学科、新分支、新理论．例如：数学基础与数理逻辑(以及分化出来模型论、递归论、证明论)，抽象代数学(包括群论、环论、域论、同调代数学、代数K理论、格论以及各式各样的代数结构)，一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓朴学、拓扑群理论(及其他拓扑代数，包括李群)、代数群理论、测度与积分论、泛函分析、随机过程论等等．几乎所有应用数学和与计算机有关的数学部门都是20世纪的产物，即使是经典的数学部门，面貌也已完全改观．比如说，19世纪以前的代数学主要研究代数方程及代数方程组的求解问题，19世纪出现了研究代数方程代换群的伽罗瓦理论、线性代数学、不变式理论，而现代的代数学已经是群论、环论、域论及同调代数学等分支，而那些经典内容总共也已经占不到百分之几了．

　　2．数学不再像过去那样只是解决特殊问题、寻求特殊算法的学科，而是在结构的概念下有统一的对象、统一的方法、有自身独立的问题的独立学科，它不仅研究数与形，而主要是研究各种结构，其中特别是代数结构、拓扑结构、序结构，以及这些结构互相混合和杂交产生的各种多重结构，从而给20世纪数学带来无比丰富而深刻的内容．结构观念进一步发展或范畴及函子的概念，对统一数学的思想起着很大的作用，思想的统一及方法的深化，促进许多经典问题的解决．

　　3．数学的内容越来越复杂、越抽象．非但没有使得它脱离实际，而且以数学本身发展出来的许多观念给物理学、化学、生物科学等提供了许多有力的工具，比如黎曼几何学及张量分析对于广义相对论，泛函分析对于量子力学及量子场论，乃至近年纤维丛理论、微分几何学及代数几何学对于规范场理论、群表示论对于原子结构、核结构、基本粒子分类都好像是定做的工具，不只一次地引起物理学家的惊异．甚至像1917年发现的拉东变换在四、五十年后都对医学上检查肿瘤不可缺的X射线层析仪提供理论基础．第二次世界大战前后，电子计算机的问世以及许多门应用数学的发展更是为数学的应用开辟了无比广阔的前景．反过来，实际问题及应用数学又为纯粹数学提出来许多新概念、新问题，甚至于推动许多经典难题的解决．比如用规范场理论推动四维拓扑学取得重大突破．

　　4．随着电子计算机的发明，无论是纯粹数学还是应用数学都受到电子计算机的强烈影响，数值分析已形成一门独立的数学分支，现在的数学计算方法如果不能上机器那就要大为减色，许多方法(如单纯形法、蒙特卡罗法、有限元法、卡尔曼滤波等等)的优越性就在于它们能够与计算机很好地配合．这样许多应用数学问题可以进行计算机试验，而逐步得到解决．不仅如此，许多纯粹数学问题也在计算机帮助之下得到证明，其中最突出的就是1976年阿佩尔及哈肯籍助计算机证明四色猜想．机械化证明可望减轻数学家某些重复、繁琐的劳动，而集中于更重要的数学问题的解决．

　　20世纪的数学可以第二次世界大战为界划为前后两期，前期约1870年到1940年，可以说是现代数学的萌芽时期．数学由以算为主过渡到以研究结构为主，把数学统一在集合论的基础上．其标志是数理逻辑、抽象代数学、测度与积分论、拓扑学、泛函分析等五大学科的诞生，到30年代布尔巴基学派用数学结构的概念统一数学，陆续出版多卷本《数学原理》(Elémentsde Mathé－matique，1939—)，成为战后数学的经典．1940年以后，是现代数学的繁荣时期，纯粹数学以拓扑学为中心得到迅猛发展，同时，随着计算机的出现，应用数学及计算数学也取得空前的进步，对于科学及社会都起着越来越重大的作用．