解放军文职招聘考试复变函数论

 复变函数论

　　复变函数(主要是单复变函数)是19世纪数学最独特、最富有成果的创造．M．克莱因指出，复变函数“统治了19世纪，几乎像微积分的直接扩展统治了18世纪那样．”在这个领域，数学家们进行了深刻而富有成效的研究，使得复变函数发展成了一门完善的学科．

　　直到18世纪，人们才较为全面地掌握了复数，并开始广泛运用复数．复变函数则由于用部分分式积分法求解积分、确定负数与复数的对数、保形映射等问题而进入数学领域．

　　如果函数的自变量是复数z＝x+iy，那么函数w=f(z)叫做复变函数．

　　f(z)也可以写成关于实函数P(x，y)，Q(x，y)的w＝f(z)＝P(x，y)＋iQ(x，y)的形式．如果f(z)在区域D内处处有导数(有限个点除外)，则称f(z)为D内的解析函数，而没有导数的点称为奇点．复变函数主要讨论解析函数的一系列性质．

　　达朗贝尔在1752年、欧拉在1777年分别得到了w=f(z)为解析函数的条件是

　　这个条件被人称为达朗贝尔—欧拉条件．后来柯西、黎曼进行过更为详细的研究，因而今天又被称之为“柯西—黎曼条件”，简称C—R条件．

　　18世纪拉普拉斯也研究过复变函数．他们主要是利用复变函数进行积分．

　　进入19世纪后，高斯进行了大量的工作．在威塞尔(C．Wessel，1745—1818)、阿尔冈(J．R．Argand，1768—1822)等人工作的基础，他系统地引入了复数a＋bi的几何表示、向量表示及其运算， 是在，1811年左右，他引进了有关单复变函数的一些基本概念，对于复函数及复变函数积分已有很明确的概念．

　　泊松(S．D．B．Poisson，1781—1840)在1815年讨论了沿复平面的路径所取的复函数的积分，他是第一个沿着复平面上的路径实行积分的人．

　　19世纪复变函数论的全面发展，主要是柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等人的贡献．

　　柯西研究复变函数的动机之一，是为了找到定积分的统一计算方法．1814年他在巴黎科学院宣读了《关于定积分理论的报告》(Mémoire Sur la théorie des intégrales défi-nies)一文(该论文发表于1825年)，处理了复函数的积分问题．1825年，他写了《关于积分限为虚数的定积分的报告》(Mámoire Sur les intégrales définies prises ent-re des limites imaginaires)(发表于1874年)，在这篇重要的论文中，详细讨论了复变函数的积分

　　其中z=x+iy．他定义这个积分为

　　的极限，其中x0，x1，…，X及y0，y1，…，Y是沿着从(x0，y0)到(X，Y)的路径的分划点．他叙述并证明了：若f(x+iy)对于x0≤

　　1826年左右，柯西提出并发展了留数的概念．他开始时把f(z1)称

　　在z1的留数也是f(z)展为z-z1的幂级数展开式中(z-z1)-1项的系数．1841年，他给出了在一个极点的留数的公式

　　1846年，他得到了关于沿着一条任意闭曲线的积分∫f(z)dz的一个新结果：若曲线包围着一些极点，那么积分的值就是函数在这些极点上的留数之和的2πi倍，即489∫f(z)dz=2πiE[f(z)]E[f(z)]是柯西发明的代表留数之和的符号．

　　1831年，柯西推出了著名的积分公式

　　其中c是区域D的边界，而z是D内任一点．

　　1831年，他还得到了这样的重要结论：函数f(z)可以按照马克劳林公式展开成为一个幂级数，它对所有这样的z收敛——z的绝对值小于使函数或其导数不为有穷或不连续的z．

　　以解析式表示的函数的导数和积分为基础，从1821年开始，在长达25年的年代里，柯西建立了一整套复变微分和积分的理论．

　　在高斯的指导下，黎曼于1851年11月以论文《单复变函数的一般理论的基础》(Grundlagen für eine allegemeineTheorie der Functionen 

极高评价的博士论文奠定了复变函数论的基础．

　　黎曼将单值解析函数推广到多值解析函数，在这个过程中，他引入了黎曼曲面这一重要概念，从而建立了复变函数的几何理论基础．如w2＝z是一个多值函数，对每一个z的值，有w的两个值与之相对应．为

　　给每一个分支引进一个z值平面，并且在每一个平面上引进一个点对应于z=∞．这样两个z平面(两叶)就可以按一定方式在z=0和z=∞处连接起来，由此就组成黎曼面．

　　多值函数越复杂，则黎曼面越复杂．一个n值函数需要一个n叶(即n个z值平面)黎曼面．黎曼面不仅是描绘多值函数的一个十分有效的办法，而且能有效地使多值函数在曲面上单值，与z平面上的情形相对应．这样一来，许多关于单值函数的定理可以推广到多值函数．

　　在研究多值函数方面，有许多重要的概念困惑了不少数学家．直到1850年以后，皮瑟(V．Puiseux， 1820—1883)才第一次弄清了极点与支点的区别，而在这之前柯西几乎没有察觉到二者之间的区别．皮瑟还引入了本性奇点的概念．柯西引入了切支分割的概念．在这些工作的基础上，黎曼建立了黎曼面的连通数和支点数之间的关系．

　　1859年，黎曼在其著名论文《论不超过一个给定值的素数个数》中，将素数分布问题归结为一个复函数

　　即著名的“黎曼ζ函数”．他提出了这样的黎曼猜想：ζ(z)位于0≤x

　　猜想至今仍未解决．这样，黎曼就在数论研究中使用了解析数论这一工具，促进了解析函数论和数论的发展．

　　与柯西、黎曼不同，魏尔斯特拉斯开辟了一条新的途径探讨复变函数论．他完全摆脱了几何直观，以从他老师古德曼(C．Gudermann， 1798—1852)那里学来的幂级数为工具，在幂级数的基础上建立起解析函数的理论，并建立起了解析开拓的方法．

　　魏尔斯特拉斯定义解析函数是可以展开为幂级数的函数，然后围绕着奇点研究函数的性质．他解决了这样的问题：从已知的一个在限定区域内定义一个函数的幂级数出发，根据幂级数的有关定理，推导出在其他区域内定义同一函数的另一些幂级数．

　　一个在以α为圆心以r为半径的圆C内收敛的z－α的幂级数，代表一个在圆C内的每一个z值上解析的函数，在圆C内选择一点b并利用原始级数所给出的函数及其各阶导数的值，可以得到z－b的一个新的幂级数，它的收敛圆C′与第一个收敛圆C交迭．在两个圆的公共点上，这两个级数给出函数的同一个值．但是，对于C′的处在C外部的点，第二个级数的值是第一个级数定义的函数的一个解析开拓．尽可能这样继续下去，从C′接连地开拓到其它的圆，就得到f(z)的全部解析开拓，完全的f(z)就是在所有的圆中、在所有点上的值的集合，每一个级数称为函数的一个元素．

　　在这样的解析开拓的过程中，可能出现的奇点必定位于幂级数的收敛圆的边界上．魏尔斯特拉斯还由解析开拓研究了多值函数及复变函数的其它性质．

　　在保形映射方面，19世纪取得了相当出色的成果．1825年，高斯已经解决了从一个平面到另一个平面的保形映射问题．黎曼清楚地知道，一个解析函数建立了从z平面到w平面的保形映射．1851年黎曼得到了这样的结论：两个给定的单连通平面可以一对一地并且保形地相互映射，一曲面的一个内点和一个边界点可以对应到另一个曲面上的任意选取的一个内点和一个边界点．1869年，施瓦兹(H．A．Schwarz，1843—1921)和克里斯托费尔给出了把z平面上的一个多边形及其内部保形映射到w平面上半部的公式：

　　1870年，施瓦兹等人还证明了可以将一个单连通平面区域映射到一个圆．

　　19世纪还开始了整函数、亚纯函数理论的研究．刘维尔、魏尔斯特拉斯等人做了许多有意义的工作．

　　与复变函数论的研究相关，19世纪还对椭圆函数、阿贝尔函数与积分进行了广泛深入的探讨．阿贝尔、雅可比等人做了大量有价值的工作．应该指出的是，狄利克雷为19世纪复变函数论的发展做出了巨大的贡献．以19世纪的巨大成就为基础，20世纪在复变函数方面取得了重大的进展．

　　值得指出的是，俄国物理学家茹科夫斯基(H．E．Жуков-ский，1847—1921)利用复变函数理论解决飞机机翼的流形结构问题，从而在流体力学和航空动力学方面做出了贡献，为纯粹数学理论的实际应用写下了极有价值的一页．