解放军文职招聘考试变分法

 变分法

　　18世纪数学分析最重要的分支，除了微分方程外，就要数变分法了．1740年左右，一门全新的具有独创特征和新方法的数学分支——变分法已经产生了．

　　一般认为，变分法的产生起源于1696年6月约翰·贝努利提出的最速降线问题：求从一给定点A(x1，y1)到不是它垂直下方的另一点B(x2，y2)的一条曲线y(x)，使得一质点沿这条曲线从A点到B点所用的时间最短．其中A点的初速度v1是给定的，摩擦和空气阻力忽略不计．(如图12·1)

　　最速降线问题发表在“ActaEruditorum”(译为《博学学报》)上，其用意是向所有的外国人特别是向英、法和意大利数学家挑战．约翰·贝努利事先曾就这个问题的名称与内容与莱布尼茨商量过，莱布尼茨建议称之为“Tachystoptotam”，但约翰·贝努利却坚持使用“Brachystochrone”一词，称之为“BrachystochroneProblem”，强调最短时间问题．今天人们称“最短时间问题”(TheBrachystochroneProblem)为“最速降线问题”(TheTachystoptotamProblem)，实际上违背了约翰·贝努利的愿望．

　　据说，牛顿当时正在造币厂工作，当他看到约翰·贝努利提出的主要是向他挑战的问题时，在晚上睡觉之前就把这个问题解决了．不管这个传说是否可靠，1697年1月30日牛顿确实把他解决贝努利两个问题(其一是最速降线问题)的论文交给了英国皇家学会秘书．几乎与此同时，莱布尼茨、洛必达、约翰·贝努利以及詹姆士·贝努利都给出了正确的答案，所有这些解法都发表在1697年5月号的《博学学报》上．这个问题就是求得使

　　为最小的函数y(x)．初始条件为y(x1)＝y1，y(x2)=y2．(其中g是重力加速度，为一常数，k＝y1－v12/2g)

　　他们得出的答案是联结A和B的上凹的旋轮线，或以参数形式xa＝R(θ-sinθ)，y-b=R(1-cosθ)表示出的滚动圆半径为R的摆线方程(R，θ为参数)．

　　最速降线之所以重要到导致了一门新的数学分支的创立，就在于在这个问题中出现了一个新的概念．对于抽象的函数J(y)，虽然其值域仍是实数域，但其定义域却是由函数构成的．这样问题就转化为求以函数集作为定义域的函数J(y)的极值．或者说，需要解决的一般问题是考虑

的极值问题．

　　变分法这门学科的创立主要应归功于欧拉．他于1730年左右，由于讨论曲面上测地线的性质而开始从事变分法研究，后来又对詹姆士·贝努利等人解决最速降线及其他类似的求J(y)极值的问题，从方法上进行了更新．用有限和代替积分，用差商代替被积函数中的导数，这样就把积分作成了由弧y(x)的有限个坐标构成的函数，然后再变动任意选择的坐标，并计算积分中的变差．通过令积分的变差等于零，并用变换得到差分方程，从而得到了极小化弧必须满足的微分方程．1736—1744年，他成功地证明了使J(y)取极大或极小值的函数y(x)必须满足条件

　　这个方程称为J(y)的欧拉方程．显然，欧拉方程也可表为

f′y－f〃xy′－f〃yy′y′－f〃y′y′y〃＝0．

　　利用得到的这些结论，他解决了一系列与变分法有关的问题，欧拉方程从那时起一直是变分法中的基本定理．1744年，他将自己在这方面的成果发表了．这不仅给他带来了巨大声誉，也标志着变分法诞生了．

　　继欧拉之后，18世纪对变分法做出最大贡献的数学家就要数拉格朗日和勒让德了．1750年，年仅19岁的拉格朗日就开始关心变分问题．1755年8月，他在写给欧拉的信中第一次称这种方法为变分法(the methed of variation)，并说这是一个十分漂亮的想法．1756年欧拉正式把这种方法命名为变分法(thecalculus of variation)．我们今天采用的就是欧拉的叫法．1759年，拉格朗日引入了变分的概念δJ．对于J(y)

　　为J的一次变分，二次变分，等等．

　　拉格朗日证明了，如果要J取极大值或极小值，则一定在极值点有δJ＝0．而

　　拉格朗日也在形式上得到了欧拉方程．严格的证明则要等到19世纪．

　　我们看到，J(y)取极值的欧拉方程仅仅是一个必要条件，相当于y=f(x)取极值的x一定满足f′(x)=0，但反之不然．于是勒让德于1786年开始讨论充分条件．他想到，对于f′(x)＝0的x，f〃(x)的符号决定f(x)是否取极大或极小，于是他开始考虑二次变分δ2J，他得到了这样的结论，只要沿y(x)的每一个x都有fy′y′≤0，则J取极大，反之取极小，但不久他又认识到，这也只是一个必要条件．实际上，18世纪一直没有解决充分条件这一问题．

　　变分法在18世纪之所以重要，主要就在于利用它数学家们找到了统一地处理一类物理问题的方法．

　　对简单性的追求、对和谐的追求，一直是数学家们的工作动力之一．自从数学家们发现了折射定律等自然规律后，人们就更加相信这样的信条：大自然以最简捷的可能途径运动．这种信条体现在具体的微积分研究中，就是寻求极值问题，认为自然的确试图使许多重要的量极大或极小化．诚如欧拉所说的那样：“因为宇宙的结构是最完整的而且是最明智的上帝的创造，因此，如果在宇宙里没有某种极大或极小的法则，那就根本不会发生任何事情．”正是在这一科学信仰的支配下，欧拉提出了“最小作用原理”：

　　即对于路径或时间改变的积分，其变化率为零．虽然他讨论的只是单个质点沿平面曲线的运动，但却在理论力学中具有重要的作用．

　　利用欧拉所提出的最小作用原理和变分法，拉格朗日得到了今天理　　

附加条件T＋v=常数，按最小作用原理，这个作用必须是极大值或极小值，于是利用变分法，有：

　　这个方程等价于牛顿第二运动定律．在这个过程中，拉格朗日一方面赋予变分法以重大的实用价值，利用变分原理建立了优美而和谐的力学定律，使牛顿经典力学达到了至善尽美的境地，这种工作就是他写的牛顿以后最伟大的经典力学著作《分析力学》(Mécanique analytique)，被人称为“科学诗”．另一方面，也使原来只包含一个变量及其导数的问题推广到了多变量的情形．

　　变分法是由智力挑战所产生的一门数学分支，它与科学信仰结合在一起，结出了数学史、科学史上的丰硕成果．