解放军文职招聘考试英雄时代——十八世纪的数学

 英雄时代——十八世纪的数学

　　17世纪最伟大的数学成就是微积分，18世纪的大部分数学工作则是多方面利用微积分方法所进行的新的创造．产生了现在仍在研究的许多数学新领域：微分方程、微分几何、变分法，等等．18世纪数学研究的特点是，取得的成果相当丰富，涉猎的领域十分广泛，但其中有些内容却经不起严格的推敲．

　　18世纪的卓越数学家主要有英伦三岛的泰勒(B．Taylor，1685—1731)、马克劳林(C．Maclaurin，1698—1746)；欧洲大陆有瑞士的贝努利(Bernoulli)家族，以及18世纪数学界的中心人物、在数学史上与阿基米德(Archimedes)、牛顿(I．Newton)、高斯(F．Gauss，1777—1855)一起被称为“四个最伟大的数学家”的瑞士数学家欧拉(L．Euler，1707—1783)．随着牛顿的去世，以及牛顿与莱布尼茨(G．W．Leibniz)关于微积分优先权之争日趋激烈，英伦三岛数学界固守牛顿的流数方法，拒不接受欧洲大陆的数学思想，英伦三岛在牛顿尤其是在马克劳林之后，数学发展相对比较缓慢．继贝努利家族和欧拉之后，主宰18世纪的数学是法国数学家，他们中有棣莫弗(A．DeMoivre，1667—1754)、克莱罗(A．C．Clairaut，1713—1765)达朗贝尔(D’Alembert，1717—1783)、兰伯特(J．H．La-mbert，1728—1777)著名的“三L”：拉格朗日(J．L．La－grange，1736—1813)、拉普拉斯(P．S．Laplace，1749—1827)、勒让德(A．M．Legendre，1752—1833)，以及蒙日(G．Monge，1746—1818)和卡诺(L．Carnot，1753—1823)．法国一直到19世纪上半叶仍是世界数学中心．

　　18世纪数学工作的推动力是解决物理——自然科学的问题，工作的目标不是数学，而是解决物理问题．法国百科全书学派的狄德罗(D．Dideret，1713—1784)和达朗贝尔明确地把数学看作是自然科学的一个分支，这样数学在历史上第一次从属于自然科学，而且这种观点到今天仍有影响．这个世纪的数学家几乎无一例外地都从事于科学、工业技术、军事问题的研究，并且其认真程度丝毫不亚于研究数学．同时，数学家还逐渐抛弃了宇宙是上帝按照数学定律设计的信念，机械决定论开始占据人们的心灵，而这一切都得益于数学的巨大成就．18世纪可以说是数学史上的英雄时代．

第一节 数学分析

一、微积分

　　18世纪数学的核心是以微积分为主的数学分析，这一世纪的中心人物是欧拉．牛顿、莱布尼茨创造了微积分，而欧拉则使这一数学领域充满了光辉灿烂的景色．拉普拉斯(P．S．Laplace)的话道出了当时的状况：“读读欧拉，读读欧拉(指其著作)，他是我们大家的老师．”这一评价甚至在今天也不过分．

　　欧拉于1707年4月15日诞生于瑞士巴塞尔．小时由父亲任启蒙教师，12岁入当地中学，16岁毕业后遵从父愿，入巴塞尔大学神学系学习．在神学课程之余，他被约翰·贝努利(JohannBernoulli)的数学讲座深深吸引了，在贝努利兄弟的影响下，数学逐渐挤走了神学，占据了他的学习日程表，而且贝努利也开始对他刮目相看，热情地指点他．欧拉回忆约翰·贝努利时曾深情地说，贝努利让他每星期六下午到晚上自由地去他的住处，他让欧拉每解决一个问题，欧拉就能很顺利地解决10个问题．的确，在贝努利兄弟的指导下，欧拉已经具备了优秀数学家的素质，并开始从事数学研究．18岁时他就发表了数学论文．

　　1726年，年仅19岁的欧拉由于在船的立桅方面的研究论文而获得巴黎科学院的奖金，从而在欧洲数学界崭露头角．这一年他正好大学毕业．在瑞士，年轻的欧拉未能获得自己所谋求的职位，恰巧这时约翰·贝努利在俄国彼得堡科学院任教授的儿子尼古拉·贝努利(Nicolaus Bernoulli)和丹尼尔·贝努利(Daniel Bernoulli)来信说，俄国欢迎欧拉．1727年5月17日欧拉来到彼得堡科学院任丹尼尔·贝努利的副手，1731年被任命为副教授，1733年他接替丹尼尔·贝努利担任彼得堡科学院的数学教授．他为俄国的数学发展、科学进步做了大量的工作，他的许多成果出现在彼得堡科学院的刊物上，帮助俄国政府解决了大量的物理学、工程学方面的难题．过度的案头工作使得这位数学大师得了眼病，不幸于1735年右眼失明，这一年他还只有28岁．

　　1741年，欧拉应腓特烈大帝之邀担任柏林科学院物理数学研究所所长．除此之外，他还在宫廷为公主们讲授数学、物理、天文、哲学乃至宗教方面课程．讲述的内容曾以《给一位德国公主的信》，(Letters to a German Princess)发表，是一部风趣、文笔优雅的科普作品．他为普鲁士研究了保险、河运等方面的一系列问题．

　　1766年，俄国沙皇诚挚的邀请终于使欧拉又回到了彼得堡科学院．实际上，他时刻也没忘记俄国．在1741—1766年的25年时间里，身在柏林的欧拉，却仍为彼得堡科学院写了上百篇论文，时刻关注着俄国的事务．的确，俄国、彼得堡科学院是他的第二故乡，是他施展聪明才智的地方．俄国人民也深深地热爱他，以致于俄国数学史家差不多总是将欧拉当作俄国数学家、俄国数学的创始人和彼得堡数学学派的奠基人．

　　回到俄国后不久，严寒的气候对欧拉微弱的视力如雪上加霜，很快左眼视力衰退，最后于1766年底双目失明．这对于一位以案头工作为主的数学家的打击可想而知．此时他已59岁，年近花甲．然而，在他生命的最后17年，尽管双目失明，在全盲中他的成果却丝毫不减往年．1771年，圣彼得堡突起大火，殃及他的住宅，双目失明而又身染疾病的欧拉被围困在大火中．虽然一位工人冒着生命危险将这位大师从大火中抢救了出来，然而他的书库、大量研究成果却全部化为灰烬．

　　沉重的打击，并没有使天性乐观的欧拉屈服，而是更加勤奋的工作．他以惊人的毅力与黑暗作斗争，以超常的记忆力和心算从事数学研究．人们发现，对不少有才能的数学家在纸上做起来也很困难的数学证明与计算，他却能心算出来！

　　在数学史上，欧拉与阿基米德、牛顿、高斯一起被称为四位最伟大的数学家．而欧拉又是数学史上成果最多、数学著作最多的数学家．研究的数学领域遍历微积分、微分方程、解析几何与微分几何、数论、级数与变分法，他还是卓越的理论物理学家，通过将数学应用到整个物理学领域，创立了分析力学及刚体力学学科．他写了数学分析、解析几何与微分几何、代数、变分法、力学方面的许多课本，并且在百余年的时间里被用作标准教材．除课本外，从20岁开始，他以每年约800页左右的速度发表高质量的研究性论文，论文所获得的奖金成了他的生活收入主要来源．双目失明后，他还写了好几本书和400余篇研究论文．欧拉全集达厚厚的74卷．

　　今天，我们几乎可以在数学的任何分支中看到欧拉的名字：初等几何中的欧拉线，立体几何中的欧拉定理，解析几何中的欧拉变换，方程中的欧拉解法，微积分中的欧拉积分，数论中的欧拉函数，微分方程中的欧拉方程，级数论中的欧拉常数，以及欧拉线、众多的欧拉方程、欧拉公式……，令人目不暇接．

　　然而，欧拉并不像牛顿、莱布尼茨那样终身一人．大量的数学、科学创造并未牺牲他所有的天伦之乐．他是一位称职的丈夫，13个孩子喜爱的父亲．与妻子一同安排家务，给孩子们做科学游戏，一起念诵《圣经》，在黄昏的林荫道上留下了幸福家庭的串串脚印．欧拉爱好思考哲学问题，曾数次与启蒙思想家伏尔泰(F．M．A．Voltaire)切磋，甚至欣赏伏尔泰对他的哲学观点的尖锐批评．可见其生性是多么豁达乐观．1783年9月18日傍晚，为庆祝计算气球上升定律的成功，他请朋友们吃饭，席间他兴致勃勃地讲述了计算要领，然后喝茶、逗孙子玩，突然疾病发作，烟斗落地，口中喃喃：“我死了．”于是“他停止了计算，也停止了生命”．

　　在欧拉的时代，随着微积分的发展，函数概念显得越来越重要了．18世纪时占主导地位的函数概念是，函数是由一个解析表达式(有限或无限)给出的．

　　今天我们熟知的各种初等函数，大都得益于欧拉的系统总结．1748年，他写下了两卷本《无穷小分析引论》(Introduction Analysin Infinitorum)，首先，将函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式．随后系统地研究了各种函数．在三角函数方面，他一方面使sinx，cosx，tgx等彻底摆脱了直角三角形的局限，使之成为一般意义上的函数；同时弄清了三角函数的周期性，并且引入了弧度概念．他区分了显函数与隐函数，单值函数与多值函数．不仅如此，他还在意识到超越数的基础上，引入了超越函数，认为三角函数、对数函数、指数函数及某些特殊函数是超越函数，这些函数的特征是不能通过对某个表达式作代数运算得到．实际上，代数函数、超越函数的提出表明欧拉已经定义了多元函数f(x，y，…)，其中二元函数f(x，y)、三元函数f(x ，y，z)在当时是最重要的．

(其中，P(x)为x的有理函数，R(x)则为四次多项式)．

　　 分进行更一般的研究乃至建立椭圆函数论则是19世纪的事情了．

　　今天已经遍及数学、物理的许多部门的两个非常重要的非初等函数Γ(Gamma)函数、β(Beta)函数，也是18世纪引入的．这两个函数都是欧拉创造的，最初是因为求解常微分方程的需要，随后哥德巴赫(C．Goldbach，1690—1764)考虑插值问题时就这个问题求教欧拉，于是欧拉在1729年10月13日写给哥德巴赫的信中解决了这个问题，并在1730年1月8日第二封信中引入了积分问题

了Γ(n＋1)＝n·Γ(n)．明显地Γ(1)=1．于是对任何正整数n都有Γ(n＋1)＝n·Γ(n)＝n·(n-1)……2·1·Γ(1) 

　　在1830年1月8日给哥德巴赫的信中，欧拉还提出了今天的β函数   　

　　不过欧拉在1771年已经发现了Γ函数与β-函数的重要关系：B(p， 

拉第二型积分，这一名称一直沿用到今天．勒让得还得到了下述结果：

　　两个或多个变量函数的偏导数研究，主要源于早期偏微分方程方面的工作．偏导数的一系列演算规则是欧拉在研究流体力学问题时得到的， 1766年写的文章中，他还处理了变量替换、偏导数的反演和函数行列式等有关问题．达朗贝尔在1744年推广了偏导数的演算．

　　普通导数与偏导数的区别开始并不被人们重视，许多人对两者都用同样的记号，但莱布尼茨却察觉了这一点，1694年他曾用“δm”表示 64年才出版的著作中，封田(A．Fonta－ine)对于x，y，z，u等变量的函数μ，给出了公式 　

格朗日等人的改进，逐渐演变成了今天的偏导数符号．

　　克莱罗在偏导数方面的主要贡献是得到了dz＝pdx＋qdy是全微分的条件，其中p，q是x，y的函数，“全微分”是由封田提出的，系

克雷罗得到了这样的结果：pdx+qdy是全微分(即 方程的研究极为有用，它是积分因子法的理论基础．

拉对由弧围成的有界区域上的二重定积分已经有了比较清楚的概念，并给出了用累次积分计算这种积分的程序，但对∫∫f(x，y)dxdy的次序交换问题仍比较模糊．

　　由于探讨引力、多体力学问题，拉格朗日、拉普拉斯、勒让德开始了三重积分研究．拉格朗日用三重积分表示引力．值得注意的是，积分变换在三重积分中发挥了重要的作用．1773年，拉格朗日在他关于旋转椭球引力的研究中，发现用直角坐标计算很困难，于是转用球坐标，

　　他引入积分变换的实质是用r2sinθdθddr代替dxdydz，于是他开始了多重积分变换的课题，1772年拉普拉斯也给出了球坐标变换．从此，“变换”在数学中逐渐为人们重视，18世纪的变换主要集中在两个方面，一个是坐标变换，这对于多重积分非常重要，另一是微分方程中的变换，其中最著名的是拉普拉斯变换．