解放军文职招聘考试《数学笔记》

 《数学笔记》

　　从莱布尼茨的《数学笔记》可以看出，他的微积分思想来源于对和、差可逆性的研究．实际上，这一问题可追溯到他于1666年发表的论文《论组合的艺术》(De Art Combinatoria)．他在这篇文章中对数列问题进行了研究，例如，他给出自然数的平方数列

　　0，1，4，9，16，25，36，… (1)

　　又给出它的一阶差序列

　　1，3，5，7，9，11，… (2)

　　及二阶差序列

　　2，2，2，2，2，… (3)

　　莱布尼茨注意到如下几个事实：自然数列的二阶差消失而平方序列的三阶差消失；如果原数列从0开始，则一阶差的和等于原数列的最后一项；数列(2)中每项是(1)中相邻两项之差而(1)中每项是(2)中左边各项之和．这些事实对他后来发明微积分是有启发的．

　　1673年初，莱布尼茨已经熟悉了费马、巴罗等人的数学著作，他本人对切线问题及求积问题也有了某些研究．他在惠更斯的劝告下，开始攻读帕斯卡的著作．他发现在帕斯卡三角形(见下表)中，任何元素是上面一行左边各项之和，也是下面一行相邻两项之差．他立即同自己在1666年的工作联系起来，洞察到这种和与差之间的互逆性，正和依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性相一致．所不同的只是，帕斯卡三角形和平方序列中的两元素之差是有限值，而曲线的纵坐标之差则是无穷小量．

　　当然，要把一个数列的求和运算与求差运算的互逆关系同微积分联系起来，必须把数列看作函数的y值，而把任何两项的差看作两个y值的差．莱布尼茨正是这样做的，他用x表示数列的项数而y表示这一项的值，用dx表示数列的相邻项的序数差而用dy表示相邻项的值的差．这时，dx显然为1．借助于数学直观，莱布尼茨把在有限序列表现出来的和与差之间的可逆关系表示成y=∫dg，符号∫表示和．例如，在莱布尼茨的平方序列中，若x＝4，则y＝(9－4)＋(4-1)＋(1-0)．莱布尼茨进一步用dx表示一般函数的相邻自变量的差，用dy表示相邻函数值的差，发者说表示曲线上相邻两点的纵坐标之差．于是，∫dy便表示所有这些差的和．这说明莱布尼茨已经把求和问题与积分联系起来了．

　　图11．18清楚地说明了y=∫dy的几何含义，该图出现在莱布尼茨的1673年笔记中．不过他在当时还未发明dx，dy和∫等符号，图中的l相当于dy，至于dx和∫，他当时写作a和omn(即拉丁文omnia的头三个字母)．在y＝x的条件下，莱布尼茨得到omn．l=y(即∫dy=y)．若以omn．l表示首项为0的序列的一阶差的和，则上式给出序列的最

到1675年10月，莱布尼茨已经推导出分部积分公式，即

∫xdy=xy-∫ydx．

　　10月29日的笔记中，他以原来的符号(即omn，l等)记录了这一公式，但他接着便改用符号∫(sum的头一个字母s的变形)代替了omn．他明确指出：“∫意味着和，d意味着差．”11月11日，他开始采用dx表示两个相邻x值的差，用dy表示相邻y值的差，即曲线上相邻两点的纵坐标之差，莱布尼茨称其为“微差”．从此，他一直采用符号∫和dx，dy来表示积分与微分(微差)．由于这些符号十分简明，逐渐流行于世界，沿用至今．

　　莱布尼茨深刻认识到∫同d的互逆关系，他在10—11月的笔记中断言：作为求和过程的积分是微分的逆．这一思想的产生是莱布尼茨创立微积分的标志．实际上，他的微积分理论就是以这个被称为微积分基本定理的重要结论为出发点的．在定积分中，这一定理直接导致了牛顿—莱布尼茨公式(如前所述)的发现．

　　从11月11日的笔记可以看出，莱布尼茨认为dy和dx可以任意小，他在帕斯卡和巴罗工作的基础上构造出一个包含dx，dy的“特征三角形”，借以表述他的微积分理论．

　　如图11．19，P，Q是曲线上相邻两点，PR=dx，QR=dy，所谓特征三角形即由dx，dy和弦PQ组成的无穷小三角形PRQ．莱布尼茨认为，在这个三角形中，弦PQ也是P和Q之间的曲线及过T点的切线的一部分．他进一步认为：三角形PRQ相似于由次切线SU，T点的纵坐标及切线ST组成的三角形SUT．所以dy与dx之比有确定的意义，即：

尼茨利用上述理论解决了一个确定的问题，即寻求次法线与纵坐标成反比的曲线．

　　在图11．19中，法线是TV而次法线是UV，设UV=p，则由三角形PRQ及TUV的相似性得到

　　即 pdx＝ydy． (4)

　　1676年11月左右，莱布尼茨在微积分基本定理的基础上给出一般的 分数．从莱布尼茨的笔记可以看出，他和牛顿一样，在微积分中常常采用略去无穷小的方法．例如，为了求出曲线下的面(图11．20)，需要计算曲线下各矩形之和．他说可以忽略剩余的三角形，“因为它们同矩形相比是无穷小……，所以在我的微积分中，我用∫ydx表示面积．”

　　1676—1677年的数学笔记中还提出如下的微积分法则：

　　(1)微分中的变量代换法即链式法则(1676年)；

　　(2)函数的和、差、积、商的微分法则(1677年)，即

　　d(x±y)＝dx±dy，

　　d(xy)＝xdy+ydx，

　　(4)曲线绕x轴旋转而得到的旋转体体积公式

V=π∫y2dx(1677年)．

　　综上所述，莱布尼茨在发现微积分基本定理的基础上，建立起一套相当系统的微分和积分方法．他成为与牛顿同时代的另一个微积分发明者．当然，他们的成果都是独立取得的，当他们开始联系时，已经各自建立起一套具有特色的微积分理论了．