解放军文职招聘考试微积分的准备工作

 微积分的准备工作

　　众所周知，微积分是牛顿(I．Newton， 1643—1727)和莱布尼茨(G．W．Leibniz， 1646—1716)创立的．但如果把人类文明史上这一伟大成果仅仅归功于他们二人，就有失公允了．正如牛顿所说：“我所以有这样的成就，是因为我站在巨人们的肩上．”仅就发明微积分而言，属于他所谓“巨人”之列的，至少可以举出斯蒂文(S．Stevin， 1548—1620)、开普勒(J．Kep－ler，1571—1630)、伽利略(G．Galilei，1564—1642)、卡瓦列里(B．Cavalieri，1598—1647)、费马(P．de Fermat，1601—1665)、帕斯卡(B．Pascal， 1623—1662)、沃利斯(J．Wallis，1616—1703)、巴罗(I．Barrow，1630—1677)等光辉的名字．如果追根溯源，作为微积分基础的极限思想，甚至与古希腊的阿基米德(Archimedes)及中国三国时代的刘徽相联系，他们各自在自己的国土上，提出了计算圆周率的科学方法——割圆术，从而跨入极限领域．当然，微积分的直接准备工作还是从16世纪开始的，体现在微分和求积两个方面．

一、求积理论的发展

　　在16世纪，积分思想是围绕求积问题发展的，而计算物体重心是与求积有关的一个重要问题．微积分的先驱之一——斯蒂文，首先在这方面有了突破．他在1586年出版的《平衡的原理》(De Beghinselen der weeghconst)一书中，用极限思想证明了三角形的重心落在中线上．

　　如图11．1，AD是△ABC的一条中线．斯蒂文在△ABC内作一系列平行四边形，根据阿基米德证明过的对称原理，内接图形的重心应在中线上．当平行四边形的个数无限增加时，内接图形便无限接近△ABC，假定△ABD与△ACD的“重量”不等，其差必为一常数．当平行四边形的个数增加到某一数值时，必使内接图形与△ABC的差小于任意给定常数，从而使△ABD与△ACD之差小于所给常数．这就证明了△ABD与△ACD“重量”相等，即△ABC的重心落在中线上．显然，斯蒂文把三角形看成平行四边形和的极限，其中蕴含着积分思想的萌芽．

　　开普勒进一步发展了求积中的极限方法，他把球看成是由无穷多个棱锥组成的，每个棱锥的顶点都在球心，底面在球的表面上，高等于球半径r．把这些棱锥的体积加起来，由棱锥体积公式立即得到

　　开普勒的这一杰出思想，还体现在1615年发表的《测定酒桶体积的新方法》(Nova Stereometria doliorum vinariorum)一书中．据说他对求积问题的兴趣，起源于对啤酒商的酒桶体积的怀疑．他在该书中讨论了许多旋转体的体积，其基本思想是化曲为直，即把曲线形看作边数无限多的直线形．例如，他把圆看作边数为无限的多边形，因此圆面积等于无穷多个等腰三角形面积之和，这些三角形的顶点在圆心，底在圆上，而高为半径r．显然，圆面积等于圆周长与半径的乘积之半．他对球体积公式的推导就是在此基础上发展而来的，著名的开普勒行星三定律中的第二定律——由太阳到行星的向径扫过的面积与经过的时间成正比，其推导过程也应用了这种求积方法．用无穷多个同维的无限小元素之和来确定曲边形面积和体积，这是开普勒求积术的核心，是他对积分学的最大贡献．他的许多后继者都吸取了这一精华．

　　在《两种新科学》(全名是《关于两种新科学的论述与数学证明》，Discourses and Mathematical Demonstrations Concerning Two New Sciences，1634)一书中，伽利略的求积方法与开普勒一脉相承．在处理匀加速运动问题时，他证明了在时间一速度曲线下的面积就是距离．如图11．2，假定物体以变速v=32t运动，则在时间OA内通过的距离就是面积OAB．伽利略所以得到这个结论，是因为他不仅把A′B′当作某个时刻的速度，而且把A′B′当作无穷小距离(即把A′B′看作速度与无穷短时间之积)．他认为由动直线A′B′组成的面积OAB必定是总的距离．因为AB是32t，OA是t，所以OAB的面积为16t2，即在时间t内走过的距离为16t2．结论显然是正确的，但推理不够严格．

　　系统运用无限小元素来计算面积和体积，是通过伽利略的学生卡瓦列里实现的．从1635年发表的《不可分连续量的几何学》(Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota)一书可以看出，他不仅继承了开普勒与伽利略的思想，而且有明显的变革．第一，他不再把几何图形看作同维无穷小元素所组成，而是看作由维数较低的无穷小元素所组成，并把这些无穷小元素称为“不可分量”．例如，体积的不可分量是无数个平行的平面．第二，他建立起两个给定几何图形的不可分量之间的一一对应关系，若每对量的比都等于同一个常数，则他断定两个图形的面积或体积也具有同样比例．所谓卡瓦列里原理便是在此基础上提出的，下面，我们以他对球体积的推导为例，说明他是怎样通过不可分量的比较来求积的．

　　如图11．3，设DHC是以O为圆心的半圆，ABCD是它的外切矩形．以OH为旋转轴，则正方形OHBC画出圆柱，三角形OHB画出圆锥，而弧HC画出半球面．用平行于底面的任意平面去截这些图形，则产生以G为圆心的半径分别为RG、FG和EG的圆，它们分别为圆柱、圆锥和半球的不可分量，这些不可分量存在如下关系：

OE2=GO2＋EG2

　　即 RG2＝FG2+EG2．

　　所以 πRG2＝πFG2＋πEG2．

　　由于截面的任意性，所以圆柱体积等于半球与圆锥体积之和，设球半径为r，则

　　大约在1636年，费马提出一种新的求积方法．他吸收了开普勒的同维无限小元素思想，又保留了卡瓦列里不可分量法在求积问题上的有效 

　　坐标为a，αa，α2a…的点(比例常数α＜1)，然后在这些点上作纵坐标，于是整个图形被分割成无数个小矩形(图11．4)，这些矩形的底边分别为

　　(1-α)a，α(1-α)a，

　　α2(1-α)a…

　　于是，各矩形面积构成一个几何级数：

　　为使矩形和充分接近抛物线所围面积，须将矩形的宽无限缩小，即令α→1．为此，费马先令α=βq，则

　　若α→1，则β→1，上式分子为q个1之和而分母为p＋q个1之和，

　　显然，在费马辛勤耕耘的数学园地里，已经看得见定积分的曙光了．费马的思想与定积分的差距仅仅在于：第一，尚未抽象出定积分的概念；第二，还未建立一般的积分公式．

　　与费马相比，帕斯卡的求积方法更为有效，因为他采取了略去无穷序列之和的高次项的方法(1654年)，这种思想对莱布尼茨和牛顿有很大影响．例如，帕斯卡在计算以曲线y=x2为一边的曲边三角形面积时，把由曲线y＝x2，x轴和直线x＝a围成图形的底分成n等分，于是得到n个矩形(图11．5)，他称这些矩形为“无穷小矩形”，用它们取

　　d·d2+d·(2d)2+d·(3d)2＋…＋ d(nd)2

法证明了由一般曲线y＝xn，x轴和直线x＝a所围成的曲边梯形面积 

　　在牛顿和莱布尼茨之前，为发明微积分作准备工作最多的是英国的沃利斯．他的《无限算术》(Arithmetica Infinitorium，1655)一书，把不可分量法译成了数的语言，从而把几何方法算术化．他把几何中的极限方法转移到数的世界，首次引入变量极限的概念，他说：“变量的极限——这是变量所能如此逼近的一个常数，使得它们之间的差能够小于任何给定的量．”他使无限的概念以解析形式出现在数学中，从而把有限算术变成无限算术，为微积分的确立准备了必要的条件．牛顿便曾直接得益于《无穷算术》．我们从下面的例子可以清楚地看出沃利斯的思想特点．

　　在求曲线y＝xn下的面积时，沃利斯不是直接去求，而是考虑该面积与横轴及过端点的纵线为边而成的矩形OABC(图11．6)之比，即

　　把横轴从0到a分为m等分，则曲线y=xn下的面积近似为：

0n+1n+2n+…＋an，

　　而与此相比较的矩形面积为

an+an+an+……＋an．

　　它们的比为

　　当m→∞时，上式的极限便是曲线下的面积与矩形面积之比．

　　沃利斯分别考虑了n＝1，2，3，4，5，6的情况．当n＝2时，有

任意给定的量．”如果项数趋于无限，则这个差将“趋于消失”，因此

　　显然，沃利斯已经接近现代意义的定积分了．