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解放军文职招聘考试北宋时期的数学成就

来源:长理培训发布时间:2017-11-22 19:27:33评论0

  北宋时期的数学成就

一、贾宪的增乘开方法

  贾宪生活于11世纪,是天算家楚衍的学生.楚衍有两名弟子,一名朱吉,后任太史;另一名便是贾宪,在朝中任左班殿值.贾宪对《九章算术》深有研究,曾著《黄帝九章算经细草》,还著有《释锁》算书,均佚.但两书的部分内容,保存在杨辉《详解九章算法》中.

  《详解九章算法·纂类》所载的贾宪增乘开方法,是中算史上第一个完整的、可推广到任意次方的开方程序(原载《黄帝九章算经细草》)

  例如“令有积一百八十六万八百六十七尺,问为立方几何?”此题相当于求方程x3>1860867的正根.按贾宪方法(参见图81)(1)实上商置第一位得数.(2)以上商乘下法置廉,乘廉为方,除实讫.(3)复以上商乘下法入廉,乘廉入方,又乘下法入廉.(4)其方一、廉二、下三退.(5)再于第一位商数之次,复商第二位得数,以乘下法入廉,乘廉入方,命上商除实讫.(6)复以次商乘下法入廉,乘廉入方,又乘下法入廉.(7)其方一、廉二、下三退,如前.(8)上商第三位得数,乘下法入廉,乘廉入方,命上商除实适尽,得立方一面之数.

  很明显,求得方根第一位后,求下面每一位的步骤都相同,(3)(4)(5)是求第二位的步骤,(6)(7)(8)是求第三位的步骤,依此类推.如果是开平方,则开方式无廉;如果是开四次方或四次双方以上,则在方和下法间加廉,称一廉、二廉……,开方步骤与开立方一致.

 

  

  

  

  在增乘开方法基础上,贾宪创造了“开方作法本源图”(原载《释锁》,存于杨辉《详解九章算法》)即贾宪三角形(82),实际是世界上最早的二项式定理系数表.虽然该表到六次方止(末行为(ab)6的系数),但表中数字是有规律的,每个数都是它肩上两数之和,可按此规律向下无限延伸(朱世杰便推广到八次方,即增加两行).所以它是一般性的.

 

二、刘益的正负开方术

  刘益是中山(今河北定县)人,生活年代可能比贾宪稍晚.著有《议古根源》,已失传.该书的部分内容保存在杨辉《田亩比类乘除捷法》里.从中可以看出,刘益把增乘开方法推广为正负开方术.贾宪的方程都是xnB的特殊形式(其中n不大于4B为正有理数),刘益则研究了一般的高次方程,如

  -5x452x3128x24096

  在刘益的方程中,未知数系数可正可负,故曰“正负开方术”.例如要求方程

  -5x2+228x2592

  的正根,先摆算式如图83(1),然后把方和隅向左移动,方每步移一位,隅每步移二位,本题只须各移一步.开方过程如p24183(开方式下面为相应的演草).刘益的正负开方术是可以推广到任意次方程的,所以说他的工作奠定了高次方程数值解法的基础.不过,刘益的思想也有局限性,他求解的方程的常数项仅限于正数,这一点同贾宪一样.这种限制,直到李冶时代才取消.

三、沈括的数学成就

  沈括(1030---1094),北宋科学家,字存中,号梦溪,钱塘(今杭州)人.进士及第后,初任馆阁校勘,后任太子中允,提举司天监.王安石变法期间,沈括曾任“权三司使”(主管财政)、“判军器监”等要职,时常出京察访各地的新政实施情况,积极参与变法运动.

 

  

  

  沈括一生论著极多,据《宋史·艺文志》所录有22155卷,流传至今的有564卷.其中《梦溪笔谈》(26)是沈括晚年定居镇江时,将一生见闻及研究心得以笔记形式写成的著作.书中的科学内容相当丰富,被著名科学史家李约瑟(JNeedham1900---1995)誉为“中国科学史的里程碑”.沈括在讨论数学起源时说:“大凡物有定形,形有真数.方圆端斜,定形也;乘除相 ,无所附益,泯然冥会者,真数也.”这就是说,数学来源于客观存在的形和数,形是物体的特有形状而数是从形中抽象出来并能反映形的“真数”.那么,数是怎样被人认识的呢?沈括认为首先要靠实践:“予占天候景,以至验于仪象,考数下漏,凡十余年,方粗见真数.”但只有实践还不行,沈括说:“耳目能受而不能择,择之者心也.”意思是人们通过感官来接受客观世界的信息,但不能靠感官去辨别,必须依靠思维,才能由此及彼,由表及里,形成对数学的理性认识.这些看法是很精辟的.

  沈括的主要数学成就有两项---会圆术和隙积术.

 

  会圆术所解决的是由弦求弧问题.如图84,沈括得到以下公式

  

  (1)式显然由勾股定理推出.至于(2)式,可能是在《九章算术》所载弓形面积公式的基础上,凭借以直代曲的极限思想得出的.沈括的会圆术问世后,收到明显的社会效益.著名的《授时历》中,使用此术解决了一个重要的天文问题——太阳的赤道坐标与黄道坐标的变换.所谓隙积,即“积之有隙”者,如累棋、层坛之类,这种长方台形状的垛积,实际是二阶等差级数.设隙积共n层,上底由a×b个物体组成,以下各层的长、宽依次各增加一个物体,最下层(即下底)c×d个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式如下:

  

  沈括的工作开了研究高阶等差级数的先河.关于此式的由来,后人有各种推测,尚无定论.但有一点是肯定的:这一精确公式不可能从经验中归纳出来,一定是逻辑推理的结果.

四、从条段法到天元术

  方程理论是宋元数学发展的主流.列方程的重要方法---天元术,便产生于北宋,而其渊源则为条段法.条段法亦称演段法,是推导方程的几何方法.刘益《议古根源》通过平面图形的分割拼补寻找等量关系,求得方程各项系数.因推演中常将各量表示成一段段条形面积,故名.北宋数学家蒋周亦用条段法推导方程.蒋周,平阳(今山西临汾)人,生活于11世纪.著有《益古集》,已失传,书中部分内容存于李冶《益古演段》.从书中题目来看,蒋周的方法比刘益更接近天元术,因为他懂得寻找含有所求量的等值多项式,然后把两个多项式连为方程.例如第33(按《益古演段》顺序):“今有圆田一段,中心有直池水占之,外计地七千三百步.只云并内池长阔,少田径五十五步,阔不及长三十五步.问三事(指池长、池阔、圆径)各多少?”(85)令圆径为d,直池长ab,圆积S1

 

  3d24×73004S (1)

  这便得到一个等于4S的多项式,下面再设法得到等于4S的另一多项式.因为d55ab,所以

  (d55)2(ab)2=4ab(a-b)24S352

  即 (d-55)2-3524S (2)

  把两个等于4S的多项式连起来,便得方程

  3d2-4×7300(d-55)2-352

  (1)式和(2)式中的4S并非所求,蒋周只是通过它得到两个等值多项式,在建立方程时便把它们消掉了.这种思想是天元术中不可缺少的.

 

  但条段法有着明显的局限性.首先,由于没有设未知数的步骤,不是把未知数用统一符号表示出来,再寻找它和已知量的关系,而是在解题过程中去找含有所求量的等式,这便增加了思维的复杂性.其次,条段法只能列出二次方程,因为高于二次的方程很难用面积来表示.数学的发展迫切需要一种简便的、能建立高次方程的一般方法,天元术便应运而生了.

  天元术是一种列方程的代数方法,因称未知数为天元,故名.从现存古算书分析,洞渊无疑是天元术的先驱者之一.洞渊生活于11世纪,所著算书早已亡佚.但李冶《测圆海镜》中保存了洞渊九容公式,即九种求勾股容圆直径的方法.洞渊的天元术便以这些公式为出发点.《测圆海镜》保存了洞渊的两道算题,即卷十一第十七题和第十八题.这两题所得均为四次方程,不仅次数高于蒋周的方程,更重要的是有了“立天元一”(即设未知数x)的明确步骤.把各种各样的未知数用统一符号表示,让它像已知量一样参与运算,这是数学思想上的突破.

  在第十七题中,洞渊得到

 

后,便把各项中x的幂提高两次,成为-4x4>-600x3>-22500x2+11681280x+788486400=0

  这说明他已懂得用分母中未知数的最高次幂去乘分式方程各项,从而化分式方程为整式方程.在洞渊的方程中,x的幂具有纯代数意义,而不再拘泥于它的几何解释.这正是天元术高于条段法之处,也是方程向高次发展的基础.

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