解放军文职招聘考试《绳法经》中的数学

 《绳法经》中的数学

　　《绳法经》中最重要的内容是祭坛的建造问题，作者利用绳子和竹杆给出固定的测量法则．其中的数学知识比较零碎，但足以说明在成书年代印度数学家已有很出色的成就了．

　　祭坛的建造遵照一系列严格的指令，其方向必须要顾及东西南北，地基必须具有标准的形状，例如边长之比为已知的等边梯形．所有祭坛的地基分为两大类，一类是面积成整数比的正方形，另一类则是等积的各种多边形．这需要相应的几何作图知识---直角、正方形、整数边直角三角形和梯形的作法，以及从面积为a的正方形出发作面积为na的正方形，把直角三角形改为等积的正方形等等，在这里毕达哥拉斯定理得到广泛应用．

　　《绳法经》中利用了下列几种具整数边长的直角三角形及其相似形：

　　3 4 5

　　5 12 13

　　8 15 17

　　7 24 25

　　12 35 37

　　15 36 39

　　以及与这些三角形等积的梯形．《绳法经》中介绍了如何用线绳和竹杆拉出直角．

　　利用毕达哥拉斯定理可以由已知正方形作面积为其2倍、3倍以至n倍的正方形．进一步作面积等于两个不等积正方形面积之和a2＋b2的正方形．阿帕斯坦巴把作图法则叙述为：“拼合两个不等积正方形，在大正方形的边上截取等于小正方形边长的线段，经过此平面区域斜拉绳子，则两个正方形合在一起．”图5．1可以清楚显示法则的含义，此处

　　AB2＝a2+b2

　　《绳法经》中还有求面积等于两个已知正方形面积之差的正方形的问题．为此，以点A为中心，以大正方形边长为半径在底边CB上截取线段CD，则

　　CD2＝b2-a2．(图5·1)

　　毕达哥拉斯定理还可用来把已知矩形改为等积的正方形．首先在边长AB＝a，AD＝b(图5．2)的矩形中分割出正方形ABFE，使其面积等于a2；用直线HG平分余下的部分EFCD；在BF上作矩形BIKF使与矩形EFGH全等，则原矩形ABCD与磬折形AIKFGHA等积，它的面积等于两个面积已知的正方形AILH与FKLG之差，这就完成了此问题的作图．代数地表示这种作图法，则为

　　如果在图5．1中引进辅助线段，如图5．3所示，那么就得到一个直观上表示毕达哥拉斯定理的图形．斜边上的正方形的面积由S，Ⅲ，Ⅳ和s组成，而三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ等积，由此可以推测，《绳法经》时代的印度数学家已经知道毕达哥拉斯定理的证明．可能是首先发现了整数边的特殊情形后才得到一般定理证明的，但是并不排除从其他民族那里得到这一结果的可能性，只需注意倍正方形问题与古希腊倍立方体问题的相似性．传说后者也是与修筑祭坛有关，究竟是巧合还是有什么相互联系，还有待于进一步发现史料．

　　具有整数边直角三角形的作法引起后世印度学者的兴趣，婆罗摩笈多和马哈维拉建立了一般的法则．这在中国和希腊是早已知道的事实．在印度，这个问题始终与建筑学方法联系在一起．

　　在这个表达式中使用了单位分数，而分母只重复使用3和4两个数字，其数值在1.4142157和1.4142156之间，精确度达到10-6．《绳法经》中没有说明如何得到这个独具匠心的表达式．这个表达式使我们联想到巴比伦人早就熟悉的迭代方法．由此推测，在《绳法经》时代印度学者和巴比伦学者之间可能已有某些联系．

　　为了把正方形祭坛改为圆形祭坛，或把圆形祭坛改为正方形的，《绳法经》建立了化方为圆和化圆为方的方法．作一圆使其与已知正方形等积，这就是化方为圆．其作法是这样的(图5．4)：从已知正方形的中心O向边AB引垂线OP，使OP等于正方形对角线之半，并交AB于H．

　　化圆为方的方法有两种．一种相当于取正方形边长

那么相应的π=3.044．

　　在另一种方法中，相当于取正方形边长为

样，印度学者为了追求某种和谐性，用尽量少的几个整数表达边长与直径的关系．

　　毫无疑问，《绳法经》的作者们利用了化方为圆和化圆为方二者之间的相互联系．但是，他们并无意于深入研究圆的性质．在通常情形下，他们取π＝3进行计算．