解放军文职招聘考试天文历法中的内插法

 天文历法中的内插法

　　1．《皇极历》中的等间距二次内插法

　　在古代，人们把太阳和月亮的视运行都看作匀速的，以此为前提来计算太阳运行和编造历法当然比较简单，但不准确．南北朝的张子信通过长期观察，发现太阳在春分后运行慢，秋分后运行快．这一事实促使人们创立新的方法去计算太阳运行等问题．于是，隋代天文学家、数学家刘焯(544—610)在《周髀算经》中一次内插法的启发下，首先在天文历法中使用等间距二次内插么式，大大提高了计算精度．

　　刘焯撰成《皇极历》后，于开皇二十年(600)进呈朝廷．虽因保守势力的阻挠，未能颁行，但历中的等间距二次内插法是一项杰出的数学成就．实际上，《皇极历》是当时最先进的一部历法．

　　刘焯在推算日、月、五星行度时都采用等间距二次内插法，下面以求太阳在黄道上的位置为例说明他的方法．刘焯以时间为自变量，把一年分为24个相等的时间间隔，每个间隔被当作两节气间的时间长度．他认为太阳的运动是匀加速的，因此太阳视行度数便是时间的二次函数，应采用二次内插法．这是一种已经实测了太阳在某些节气的视行度数，求太阳在其他日期视行度数的方法．设h为节气长，s为某节气后日数，f(t)，f(t＋h)，f(t＋2h)为已知的相邻三节气的太阳视行度数，Δ1=f(t＋h)-f(t)，Δ2=f(t＋2h)－f(t＋h)，某一节气后s日的太阳视行度数为f(t＋s)，则刘焯的等间距二次内插公式可表示为

　　后来，唐初李淳风编《麟德历》时曾引用这一公式．《麟德历》被颁行全国，广泛采用．印度数学家婆罗摩笈多(约598---660)曾于628年使用类似的等间距二次内插公式计算正弦值，但已在刘焯之后了．

　　2．《大衍历》中的不等间距二次内插法及正切表

　　《皇极历》中由于采用了等间距二次内插公式，所以计算结果比以前准确．但这一公式是以各节气时间间隔相等为前提的，实际上二十四节气的时间间隔应该有差别，使用不等间距内插法才更合理，这一工作是由张遂(683---727)完成的．

　　张遂是唐代一位很有学问的和尚，法名一行．他在天文学和数学方面都有重要贡献，领导过有名的大地测量，在世界上首次实测了子午线长度，还和梁令瓒共同创造了黄道游仪和水运浑仪等大型天文仪器．他在晚年写成的《大衍历》，按不等的时间间隔安排二十四节气，把刘焯的内插公式由等间距推广到不等间距的情形，建立了不等间距二次内插公式．下面以现代符号表出张遂的公式：

　　其中f(t)是已知的某节气的太阳视行度数，f(t+s)是t后s日的太阳视行度数，h1和h2是相邻的节气间隔，Δ1=f(t+h1)－f(t)，Δ2= f(t+h1+h2)－f(t＋h1)．

　　张遂把《大衍历》呈报朝廷后，因对《大衍历》、《九执历》、《麟德历》等几种历法的优劣有争议，朝廷便令人检验，主要方法是根据各历预报日月交食的时间，然后与实际情况相比较．结果《大衍历》的误差最小，于是向全国颁发．该历所以能达到较高的精度，是与张遂使用不等间距二次内插法分不开的．唐代后期徐昂在制订《宣明历》(公元822年)时，也曾使用张遂的内插公式来计算太阳、月亮的视行度数．

　　《大衍历》中的另一数学成就，是出现了世界上最早的正切表．如

　　图4．25，l0是表长，l是日影长， S表太阳，Z表天顶，太阳的天顶 张遂只给出随α变化的l的长度．实际上，历中列出了天顶距从0度到79度所对应的表影长，它显然是α的函数，只要除以表长，就得到现在意义的正切值了．张遂的正切表可能是在印度正弦知识的影响下创造的，但很快就失传了，对中国数学发展影响不大．