解放军文职招聘考试阿波罗厄奥斯与圆锥曲线

 阿波罗厄奥斯与圆锥曲线

　　阿波罗尼奥斯(Apollonius，约公元前262---前190)是与欧几里得、阿基米德同一时期的伟大数学家．年轻时曾到亚历山大里亚就学，受教于欧几里得的弟子，后来从事教学工作．

　　阿波罗尼奥斯是一位有名望的天文学家，但他写过多种数学著作，其中《圆锥曲线论》(Conic Sections)是一部非凡的巨著，以此在同辈中间赢得了“伟大的几何学者”的称号．《圆锥曲线论》一书对几何学的发展产生了深远的影响．在数学界统治了近2000年，直到17世纪帕斯卡、笛卡儿时代才开始有本质上的改变．

　　《圆锥曲线论》共含8卷，包括了400多个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．名著《古代的圆锥曲线论》(Zeuthen Die Lehre Von den Kegelsch－nittenim Altertum)中，对阿波罗尼奥斯的思想作了阐述．后来，数学史家诺依格包尔(O．Neugebauer，1899—)著《阿波罗尼奥斯研究》一书，对一些问题又作了补充．从而，可以看出阿波罗尼奥斯把希腊的几何学发展到炉火纯青的境地．

　　也应看到，阿波罗尼奥斯是在前人工作的基础上发展了圆锥曲线理论．门奈赫莫(Menaechmus，约公元前375---前325)是系统研究圆锥曲线的第一个人，在通过解决三大几何难题之一“倍立方”问题中，他知道a∶x＝x∶y＝y∶2a与x2＝ay和2a2＝xy相当，由此导致对圆锥曲线的探讨．在公元前300年左右，欧几里得曾写过关于圆锥曲线的教科书，即《圆锥曲线原本》(Ele－ments of Conic Sections)，现已失传．后来阿基米德曾引用一些零散的命题．

　　阿波罗尼奥斯在第一卷中，主要是给出三种圆锥曲线即椭圆(ellipse)，抛物线(parabola)和双曲线(hyperbola)的定义．实际上，阿波罗尼奥斯发展圆锥曲线理论就是从给出这三种圆锥曲线定义开始的．他首先给出圆锥曲面的定义：

　　“如果有一点A，在不含此点的平面α上画一圆，在圆周上取一点P，连结AP并沿圆周运动形成的曲面叫做圆锥面．如图3．16

　　阿波罗尼奥斯把A叫做顶点，把A与圆心的连线叫圆锥面的轴，圆锥面和圆面围成的立体叫做圆锥．把圆面叫做圆锥的底．

　　如果用含轴的平面截圆锥，可得两个三角形ABC和AB′C′，BC和B′C′是圆锥的底与截面的交线，也可找到一个平面截这个圆锥，使交线DE垂直于BC，得到截面和三角形ABC的交线ZH，如图3．17．

　　(1)ZH平行于AC

　　过曲线DZE任意一点K，引直线平行于ED、交ZH于G，线段KG在平行于底的MKN面中，切口MKN是以MN为直径的圆，如图3．18．若引ZF，满足ZF∶ZA＝BC2∶BH·AC，K是曲线DZE上的点，总有KG2=FZ·ZG，于是，以FZ、ZG为边的长方形面积FZ·ZG相当于以KG为边的正方形的面积．把具有这种性质的曲线DZE叫抛物线．这乃是门奈赫莫斯的“直角圆锥切线”

　　(2)ZH不平行于AC

　　①∠ZHB＜∠ACB时．如图3．19

　　取交线ZZ′，做截面与底的交线DHE，由于DHE和BC相交，过A引直线平行于ZZ′，交BC延长线于一点K，做ZF满足AK2∶BK∶KC＝ZZ′∶ZF，过曲线任一点G，过点G作平行于DHE的直线交ZZ′于M，于是有GM2＝FZ·ZM-α成立．(α是正值)这说明以GM为一边的正方形面积小于以FZ和ZM为边的长方形的面积，称为“不

奈赫莫斯的“锐角圆锥曲线”．

　　② ∠ZHB＞∠ACB如图3．20．

　　用平面切以A为顶点的两圆锥，可得相对二条曲线DZE和① 希腊语是παραβολειν．D′Z′E′，平行于ZZ′的直线交BC于K，作FZ满足AK2∶BK·KC＝ZZ′∶FZ，对于曲线上任意一点G，有：

　　GM2＝FZ·ZM+α(α为正值)成立．这说明以GM为边长的正方形面积大于以FZ、ZM为边的长方形面积．阿波罗尼奥斯命名为“过剩的”(υπρβαληhyperbola)，即现在的双曲线．

　　阿波罗尼奥斯能在如上复杂的图形中，寻求各种圆锥曲线的定义，显示出了他的高超才智．

　　第二卷开始部分描述了渐近线性质，其中指出，由于渐近线是向无限远伸展，所以它们要与曲线越来越靠近，以致它们相隔的距离可以小于任何给定的长度．此外，还证明了，由曲线上任一点向固定方向上的渐近线作直线所围成之矩形，其面积是一定的；这相当于笛卡儿术语中应以方程xy=c来表示的关系．接着是描述求圆锥曲线的直径、抛物线的轴、椭圆与双曲线的轴和中心的方法．最后说明作曲线之切线的各种方法．

　　第三卷含有一些定理，其中有一部分关于面积的定理．例如，若一条圆锥曲线上的任意两点A和B处的切线交于C，并与过B和A的直径交于D和E，则△CBD和△ACE面积相等．还有极点和极轴的调和性质(类似于我们在射影几何初等课本中的习题)以及关于相交弦线段乘积定理．例如，如果平行于两个给定方向的弦AB和CD相交于O，

　　第三卷开头论述关于切线与直径所成图形的面积的定理，并且还介绍了一些有关轨迹的问题，在本篇最后叙述了有心二次曲线的著名的焦点性质．但是，在整个著作中，既没有讲到圆锥曲线的焦点---准线的性质，也没有讲到抛物线的焦点，这是难以理解的，因为据帕普斯说，欧几里得已知道这些性质．

　　第四卷主要是讨论关于圆锥曲线相交的定理．还证明了第三卷中的极点和极轴的某些命题的逆命题．

　　第五卷的独到之处在于它论述从一特定点到圆锥曲线所能作的最长和最短的线．阿波罗尼奥斯先从有心圆锥曲线长轴上或抛物线轴上的特殊点讲起，求出这些点到曲线的最大距离与最小距离．然后他取椭圆短轴上的点来做．他又证明，若O是任一圆锥曲线内的任一点，且若OP是从O到圆锥曲线的一极小或极大距离，则P处垂直于OP的直线是P处的切线，又若O′是OP延长线上在圆锥曲线外面的任一点，则O′P是从O′到圆锥曲线的极小线．切线在切点处的垂线现在叫法线，因此极大和极小线都是法线．阿波罗尼奥斯其次考察任一圆锥曲线的法线性质．例如，在抛物线或椭圆任一点处的法线还与曲线交于另一点．然后他指出怎样从圆锥曲线内部或外部的给定点作该曲线的法线．

　　值得指出的是阿波罗尼奥斯在书中没有把法线看成是垂直于切线的直线，而是看成从曲线的内点或外点所作的到曲线上的极大直线和极小直线．此部分著作以严谨性著称．

　　第六卷：包括全等圆锥曲线、相似圆锥曲线及圆锥曲线弓形．这弓形也像圆的弓形那样是由圆锥曲线的弦所割出的一部分面积．还讲述了如何在一个给定的直圆锥上求一个等于给定圆锥曲线的截线．

　　第七卷：包含---批涉及共轭直径的定理，例如，关于在一对共轭直径的端点对有心圆锥曲线所作切线形成的平行四边形的面积恒等的定理．

　　第八卷已失传．

　　阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》是一部内容广泛的著作，其中对许多复杂命题叙述奇特，读起来是相当吃力的．

　　除了《圆锥曲线论》，阿波罗尼奥斯还著有《论比例截点(或截线，截面)》(On Proportional Section)；《关于相切》(Tangencies)；《论特殊截点(或截线、截面)》(On Dete－rminate Section)；《论确定的截点(或截线、截面)》(OnDeterminate Section)；《关于平面轨迹》(Plane Loci)；《斜向》(Vergings)．帕普斯曾对如上6部著作的内容作过简短的描述．