解放军文职招聘考试巴比伦的数学

 巴比伦的数学

　　巴比伦人和埃及人一样，是首先对数学的萌芽作出贡献的民族，对其原始数学内容的考证，大部分来自近百年来考古研究的结果．

一、记数法与进位制

　　一百多年前，人们发现巴比伦人是用楔形文字(Cuneiform)来记数的．他们是用头部呈三角形的木笔把字刻写在软泥板上，然后，用火烧或晒干使它坚如石，以便保存下来进行数学知识交流．由于字的形状象楔子，所以人们称为楔形文字．

 

　　他们用垂直的楔形来表示1，如  ．用末端二个横向楔形表示10，如 ．用记号 表示35．用记号 表示9，后来简化为 ．

　　以上可以看出，巴比伦人创建的数的体系与埃及、罗马数字颇为相似．但是，值得我们注意的是巴比伦人已经有了位值制的观念，通常为60进制．这种认识的主要根据是地质学家劳夫特斯(W．K．Loftus)于1854年在森开莱(现在的拉山或拉莎)发掘出汉穆拉比时代的泥板书，上面记载着一串数字，前7个是1，4，9，16，25，36，49，之后中断，而在应该是64的地方，看到的却是1·4，其后接着写出1·21，再后是2·24，直到最后写的是58·1．这个数列只有假定其为60进位时，才能很自然接续，即：

　　1·4＝60＋4＝64=82，

　　1·21=60＋21＝81＝92，

　　……………………

　　58·1=58×60＋1＝3481＝592．

　　应该指出，巴比伦人的位值制有时也不甚明确；因为完整的位值制记数法，必须有表示零的记号，但在早期的泥板书上尚没有发现零号．例如，(5·6·3)可表示5×602＋6×60＋3＝18363，也可表 下文来分析、确定．

　　古巴比伦的60进位法之产生年代是相当久远的．但据有的材料记载，早期的苏默人是不知道60进位制的．从他们所用的数学符号中可以看出，大约在公元前3000年以前，是用以下记号来记数的：

 

1，10，60的记号是用头部是圆形的木笔刻成，而1和60的记号都是半圆形，只是大小不一样，10的记号是圆形，600的记号是10和　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　到了公元前2000年左右，开始使用楔形文字，以此又建立一套数的记号，不妨做如下比较：

 

　　通过如上二种数码的表示法之比较，不难看出，巴比伦采用60进制是很自然的①．

二、算术运算

　　由于巴比伦从1到59的数码都是以1和10或更多一些数的记号为基本记号结合而成的，因此，在此范围内的加减法不过是加上或去掉某种记号罢了．

　　巴比伦人对整数的乘法，采取了“分乘相加”的方法．例如，某数乘以27，他们先乘20，再乘7，然后把结果相加，最后得出结果．他们还造出了一些乘法表．(左边是巴比伦人的记号，右边用现代符号表示)

 

　　巴比伦人在做整数除以整数时，采用了乘以倒数的方法，并且还造出了倒数表．

　　巴比伦人研究了数的平方和开平方、立方和开立方的问题．当方根是整数时，给出了准确的值．对于其它方根，由于采用60进位制，只能是近似值．并造出了简单的平方、平方根、立方、立方根表．巴比伦人也曾给出了求a2＋b型的方根近似公式：

　　 

　　

数大．到了希腊时期，著名数学家阿基米德(Archi－medes)、海伦(Heron)创造出了平方后比原数小的近似公式．

三、代

　　巴比伦人不但具有数系和数字运算的一些知识，他们也具有处理一般代数问题的能力．

　　例如：在赛凯莱(Senkereh)出土的古巴比伦(汉穆拉比王朝时期)的原典AO8862，记载着下面的问题：(用现代语言叙述)

　　一块长方形土地面积加上长与宽之差为3.3①(即183)，而长与宽之和为27，这块地的长、宽、面积各几何？

　　(1)古巴比伦人的解法：(按60进制计算)

27＋3.3=3.30

2＋27=29

29÷2＝14.30

14；30×14；30＝3.30；15

3.30；15-3.30＝0；15

0；15的平方根是0；30

14；30＋0；30=15 (长)

14；30-0；30=14

　　因为原来是将27加上2，现在应从14减2，则宽是14－2= 12

　　故得到，15×12＝3.0(面积)

15-2＝13

3.0＋3＝3.

 

　　读者可以辨认，以上例题的解法是从6行到29行之间，是用楔形文字书写的．

　　(2)如果用现代的列二元一次方程组的方法解，则很简便．

　　设长为x，宽为y，可列成如下方程组：

　　

　　从AO8862原典的最后一行的结果看出，x＝15，y＝12是满足方程组(1)的解的．

　　在前面解题时，实际上是用新的宽y'代替原宽y，即：

　　y'=y+2，y=y'-2．

　　使用如上这种代换方法，使问题简单化了．代换后，可得到新的二元一次方程组：

　　　　

　　把方程组(2)的第1式加到方程组(1)的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地写着)

　　27+3.3=3.30

　　2+27＝29

　　之后，继续解方程组(2)．从上边的具体问题求解中，我们可以悟出解方程组的一般方法，用现代符号表示，可谓：

　　

　　其解为：

　　

　　

　　巴比伦人求解的各个步骤是符合解方程组的一般方法的，但是，他们没有给出求解的一般公式．

　　在巴比伦人利用楔形文字撰写的原典中，也有解一元二次方程的例子．例如：由两正方形并组成一个面积为1000，一正方形边为另一正方形边的 

　　巴比伦人是按如下方法求解的：(用现代符号表示)

　　设两个正方形边长分别为x，y．

　　

　　得到一个正整数解为：x＝30．

　　以上说明巴比伦人在汉穆拉比时代已经掌握了解二元一次和一元二次方程的方法，但仍然是用算术方法求解．巴比伦人对简单的三次和四次方程也求解过．例如在原典中有这样的题目：一个立方体，其体积为

　　

长、宽、高分别为x、y、z，体积为V，实际上是求解方程组

 

　　解此方程组，涉及算立方根问题，巴比伦人用数表来求解(见算术运算部分的数表)．

四、几何

　　在古巴比伦时期，常常把几何问题化为代数问题来解决．在他们心目中，几何似乎不占有重要位置．但是，在20世纪中叶布尔昂(E．M．Buuins)博士和鲁达(M．Rutten)撰写的《斯萨数学书》(Textes mathè matiques de Suse，MèmoiresMission archèol en lran XXXIV，Paris，1961)中，指出了在斯萨出土的古巴比伦的楔形文字原典中，含有求正多边形和圆的面积的近似公式，说明古巴比伦人对几何问题也有一定的兴趣．

　　例如，在拉尔萨(Larsa)出土的古巴比伦原典VAT8512中，有下面的问题(用现代符号和语言叙述)．

　　已知底边b＝30的三角形，由平行于底的直线把其分成两部分，即高分别为h1、h2的梯形F1和三角形F2，且面积F1-F2＝S＝7.0 h2-h1=h＝20，求割线长(x)．

 

　　由以上条件，可建立如下关系式：

　　　　

　　由图2．3可知，比例式

　　h2∶h1=x∶(b-x) (5)

　　成立．

　　根据以上条件，可解出x，即：

　　

　　

　　

　　由上可知，巴比伦人建立的关于x，h1，h2的关系式是正确的．但是，还没有理由(证据)说明以上是一种纯粹代数的推演．数学史家尤伯尔(P．Huber)对(4)式做了如下解释(Isis Vol46，p104)：

 

　　如果在三角形一边加一个长为h1＋h2的长方形，拼成一个上、下底边长分别为c和a＝c＋b的梯形，延长割线x，把此梯形分成两部分，如图2．4其面积差为：

　　(F1-F2)-c(h2-h1)＝s-ch．

　　

的面积分成二等分z，并给出

　　

　　(参考MKT I，p131)可得到(6)式的证明：

　　

　　按照尤伯尔的解释，以上的解法思路是几何学的思想，而不是代数的．

　　巴比伦人很早就知道毕达哥拉斯定理(勾股定理)，并能应用此定理解决具体的、比较简单的问题，在古巴比伦的数学原典中有记载，并使用了1500年之久，直到赛莱乌科斯王朝时代(公元前310年以后)的著作中，仍有记载．

　　巴比伦人也会求棱柱、圆柱、棱台、圆台的体积，他们用高乘以两底面积和的一半的方法进行计算．