解放军文职招聘考试对保险金的进一步说明

 （一）公平的保险价格与理性的保险购买量

假设一个风险规避的个人的初始财产为，他的效用函数具有VNM性质。他想购买汽车保险，假定他遇上车祸，其财产损失为L；如果他遇上车祸的概率为，他会购买多少数额的保险呢？

这个人购买多少数额的保险取决于保险公司对每一元保险值收取多少价格。通常，保险的公平价格是指保险公司的期望利润为零的保险价格。设为保险价格，即投保人要求保1元价值的险，保险公司收费为。如果出了车祸，保险公司的收入为；但如果不出车祸，保险公司稳拿。由于出车祸的概率为，不出车祸的概率为，所以保险公司从每一元保险额的服务上的期望利润为：。

如果保险公司的期望利润为零，则

可得。

即保险的公平价格等于车祸发生的概率。

在这种公平保险价格下，风险规避的当事人会购买多少数额的保险呢？因为他的效用函数具有VNM性质，他会追求期望效用最大化。所以，他会使下式极大化。

将上式对x求一阶导数（因为x是所购买的保险额，是他的选择变量），可得

对上式处以，可得

因为效用函数严格凹，，从而单调。这样，边际效用相等意味着等式两边的财产量相等，所以

这说明，在公平保险价格之下，当事人会对其风险资产全部投保。

（二）保险金R与风险规避程度的关系

定义保险金（R）为投保人对于消除风险可以承受的最高价格，即从一笔初始的财产出发，消费者为了免受不确定的灾祸的袭击，所能接受的最高价格。我们将看到保险金R与风险规避程度之间是成正比的关系。假定一个人有初始财产，但这笔财产会有不确定性，即消费者面临一个赌局，赌局的奖金（或损失）为h。若，h为奖金，若，h为赌局带来的损失。因此，该消费者的期望效用函数可以写成，其中。

如果当事人为了免灾，宁肯支付一个确定的R给保险公司，那么他就完全退出赌局，而得到一个确定的效用水平。确定性等值的定义告诉我们

用泰勒级数将上式左右两边展开。先看右边

＋高阶项

再看左边，同样可以用泰勒级数展开

＋高阶项

            ＋高阶项

由于，再令为一常数k（k>0），略去高阶项即可得到

从而

由于当事人的初始财产水平可以任设，所以，实际上我们得到了

即当事人愿意支付的保险金R与风险规避程度是大致成正比的：投保人越是厌恶风险，他便越愿意支付高一些的保险金；反之，则会只愿意承担低一些的保险金。