解放军文职招聘考试质点运动学

 1 -1　质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t 至(t ＋Δt)时间内的位移为Δr, 路程为Δs, 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r｜),平均速度为,平均速率为．

(1) 根据上述情况,则必有(　　)

(A) ｜Δr｜= Δs = Δr

(B) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= ds ≠ dr

(C) ｜Δr｜≠ Δr ≠ Δs,当Δt→0 时有｜dr｜= dr ≠ ds

(D) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= dr = ds

(2) 根据上述情况,则必有(　　)

(A) ｜｜= ,｜｜= 　　　  (B) ｜｜≠,｜｜≠

(C) ｜｜= ,｜｜≠         (D) ｜｜≠,｜｜=

分析与解　(1) 质点在t 至(t ＋Δt)时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr｜＝PP′,而Δr ＝｜r｜-｜r｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有｜dr｜＝ds,但却不等于dr．故选(B)．

(2) 由于｜Δr ｜≠Δs,故,即｜｜≠．

但由于｜dr｜＝ds,故,即｜｜＝．由此可见,应选(C)．

1 -2　一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即

(1)；　(2)；　(3)；　(4)．

下述判断正确的是(　　)

(A) 只有(1)(2)正确　　　   　(B) 只有(2)正确

(C) 只有(2)(3)正确           (D) 只有(3)(4)正确

分析与解　表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号v_r表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式计算,在直角坐标系中则可由公式求解．故选(D)．

1 -3　质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, a_ｔ表示切向加速度．对下列表达式,即

(1)d v /dt ＝a；(2)dr/dt ＝v；(3)ds/dt ＝v；(4)d v /dt｜＝a_ｔ．

下述判断正确的是(　　)

(A) 只有(1)、(4)是对的    (B) 只有(2)、(4)是对的

(C) 只有(2)是对的         (D) 只有(3)是对的

分析与解　表示切向加速度a_ｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；在极坐标系中表示径向速率v_r(如题1 -2 所述)；在自然坐标系中表示质点的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度a_ｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)．

1 -4　一个质点在做圆周运动时,则有(　　)

(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变

(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变

(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变

(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变

分析与解　加速度的切向分量a_ｔ起改变速度大小的作用,而法向分量a_n起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于a_ｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, a_ｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a_ｔ为一不为零的恒量,当a_ｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．

*1 -5　如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v,则小船作(　　)

(A) 匀加速运动, 

(B) 匀减速运动, 

(C) 变加速运动,

(D) 变减速运动, 

(E) 匀速直线运动,

分析与解　本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质．为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为,其中绳长l 随时间t 而变化．小船速度,式中表示绳长l 随时间的变化率,其大小即为v₀,代入整理后为,方向沿x 轴负向．由速度表达式,可判断小船作变加速运动．故选(C)．

讨论　有人会将绳子速率v₀按x、y 两个方向分解,则小船速度,这样做对吗？

1 -6　已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为,式中x 的单位为m,t 的单位为 s．求：

(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小；

(2) 质点在该时间内所通过的路程；

(3) t＝4 s时质点的速度和加速度．

分析　位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据来确定其运动方向改变的时刻t_p ,求出0～t_p 和t_p～t 内的位移大小Δx₁ 、Δx₂ ,则t 时间内的路程,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用和两式计算．

解　(1) 质点在4.0 s内位移的大小

 (2) 由                    

得知质点的换向时刻为

 (t＝0不合题意)

则

所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为

 (3) t＝4.0 s时

1 -7　一质点沿x 轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图(a)所示．设t＝0 时,x＝0．试根据已知的v-t 图,画出a-t 图以及x -t 图．