2020年解放军文职招聘行测资料整理：错位重排问题

基本公式：Dn =(n-1)×(Dn-2 +Dn-1)，其中D1=0,D2=1。

Dn表示n个数的错位重排的方法数。

公式推导：若有n个人，n个座位，错位重排。

(1)若n=1,1个人对应1个座位，无法错位，故D1=0;

(2)若n=2,2个人,2个座位，要实现错位，只能是如下的方式，故D2=1;

(3)对于n个人，n个座位，要实现错位，分步来操作：

第一步，先安排第1个的座位，第1个人选择的是第i个座位，有(n-1)种坐法;

第二步，安排剩下(n-1)个人的座位，分类来操作：

第一类，若第i个人选择第1个座位，有一种坐法，剩下的(n-2)个人，有(n-2)个座位错位重排，有Dn-2种坐法，共有1×Dn-2= Dn-2种坐法。

第二类，若第i个人选择不是第1个座位，即相当于除了第1 个人外，其余的(n-1)个人，(n-1)个座位，错位重排，共有Dn-1种坐法。

综上所述，根据计数原理可得，共有(n-1)×(Dn-2+ Dn-1)种坐法，即Dn =(n-1)×(Dn-2 +Dn-1)，其中D1=0,D2=1。

例1：编号1、2、3的三封信装号为1、2、3的三个信封，要求每个信封和信的编号不同，问共有多少种装法?

A.2 B.6 C.9 D.12

【答案】A。解析：每个信封和信的编号不同的方法数属于错位重排问题，3个元素的错位重排方法是2种。

例2：编号为1至6的6个小球放号为1至6的6个盒子里，每个盒子放一个小球，其中恰有2个小球与盒子的编号相同的方法有多少种?

A.9 B.35 C.135 D.265

【答案】C。解析：恰有2个小球与盒子的编号相同的方法有=15种，其余的4个球与相应的盒子编号错位重排，有9种方法，根据分步乘法原理得出所求方法有15×9=135种。选择C项。

例3：电视节目“变形记”中，为了让城市的学生与偏远地区的学生相互体验生活，由编号1-5的5个城市家庭和编号同为1-5的偏远地区家庭举办一个交换体验生活的活动，活动规则如下: 1.城市的家庭必须选择偏远地区的家庭，偏远地区的家庭必须选择城市的家庭; 2.不能选与自己编号相同的家庭。粗心的活动负责人在分配时忽略了第二个条件，求这种情况下他分配对的概率为多少?

A.

B.

C.

D.

【答案】C。解析：编号1-5的5个城市家庭和编号同为1-5的偏远地区家庭举办一个交换体验生活的活动，满足第一个条件的方法数为。但要满足第二个条件：不能选与自己编号相同的家庭，那么属于5个元素的错位重排，其方法是44种。所以活动负责人在分配时忽略了第二个条件，但是分配对的概率为。选择C选项。