2014广西高考文科数学真题及答案

2014 广西高考文科数学真题及答案 一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分） 1 ． （ 5 分 ） 设 集 合 M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7}, 则 M∩N 中 元 素 的 个 数 为 （ ） A．2 B．3 C．5 D．7 2．（5 分）已知角 α 的终边经过点（﹣4,3）,则 cosα=α=（ A． B． C．﹣ ） D．﹣ 3．（5 分）不等式组 的解集为（ A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} ） C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1} 4．（5 分）已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值 为（ ） A． B． C． 5．（5 分）函数 y=ln（ D． +1）（x＞﹣1）的反函数是（ ） A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1） C ex）3（x∈R） ． 1﹣ D．y=（ex﹣1）3（x∈R） 6．（5 分）已知 , 为单位向量,其夹角为 60°,则（2 ﹣ ）• =（ A．﹣1 B．0 （ y= C．1 ） D．2 7．（5 分）有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小 组,则不同的选法共有（ A．60 种 B．70 种 ） C．75 种 D．150 种 8．（5 分）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn．若 S2=3,S4=15,则 S6=（ A．31 B．32 C．63 9．（5 分）已知椭圆 C: ） D．64 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 ,则 C 的方程为（ ） ,过 A． + =1 B． +y2=1 C． + =1 D． + =1 10．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的 表面积为（ A． ） B．16π C．9π 11．（5 分）双曲线 C: ﹣ ,则 C 的焦距等于（ A．2 B．2 D． =1（a＞0,b＞0）的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为 ） C．4 D．4 12 ． （ 5 分 ） 奇 函 数 f （ x ） 的 定 义 域 为 R, 若 f （ x+2 ） 为 偶 函 数 , 且 f （ 1 ） =1, 则 f（8）+f（9）=（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13．（5 分）（x﹣2）6 的展开式中 x3 的系数是 ．（用数字作答） 14．（5 分）函数 y=cosα=2x+2sα=inx 的最大值是 ． 15．（5 分）设 x,y 满足约束条件 ,则 z=x+4y 的最大值为 ． 16．（5 分）直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线,若 l1 与 l2 的交点为（1,3）,则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于 ． 三、解答题 17．（10 分）数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1﹣an+2． （Ⅰ）设 bn=an+1﹣an,证明{bn}是等差数列； （Ⅱ）求{an}的通项公式． 18 ． （ 12 分 ） △ ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 已 知 3acosα=C=2ccosα=A,tanA= ,求 B． 19．（12 分）如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上, ∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2． （Ⅰ）证明:AC1⊥A1B； （Ⅱ）设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 ,求二面角 A1﹣AB﹣C 的大小． 20 ． （ 12 分 ） 设 每 个 工 作 日 甲 , 乙 , 丙 , 丁 4 人 需 使 用 某 种 设 备 的 概 率 分 别 为 0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立． （Ⅰ）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； （Ⅱ）实验室计划购买 k 台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数 大于 k”的概率小于 0.1,求 k 的最小值． 21．（12 分）函数 f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）若 f（x）在区间（1,2）是增函数,求 a 的取值范围． 22．（12 分）已知抛物线 C:y2=2px（p＞0）的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P, 与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|． （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M、N 两点, 且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程． 2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分） 1．（5 分）（2014•大纲版）设集合 M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则 M∩N 中元 素的个数为（ ） A．2 C．5 B．3 D．7 【分析】根据 M 与 N,找出两集合的交集,找出交集中的元素即可． 【解答】解:∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7}, ∴M∩N={1,2,6},即 M∩N 中元素的个数为 3． 故选:B． 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5 分）（2014•大纲版）已知角 α 的终边经过点（﹣4,3）,则 cosα=α=（ A． B． C．﹣ ） D．﹣ 【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα=α 的值． 【解答】解:∵角 α 的终边经过点（﹣4,3）,∴x=﹣4,y=3,r= ∴cosα=α= = =5． =﹣ , 故选:D． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题． 3．（5 分）（2014•大纲版）不等式组 A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} 的解集为（ ） C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1} 【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式,分别求出不等式组中每个不等式的解集 ,再取 交集,即得所求． 【解答】解:由不等式组 可得 ,解得 0＜x＜1, 故选:C． 【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法,属于基础题． 4．（5 分）（2014•大纲版）已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为（ A． B． C． ） D． 【分析】由 E 为 AB 的中点,可取 AD 中点 F,连接 EF,则∠CEF 为异面直线 CE 与 BD 所成角, 设出正四面体的棱长,求出△CEF 的三边长,然后利用余弦定理求解异面直线 CE 与 BD 所成 角的余弦值． 【解答】解:如图, 取 AD 中点 F,连接 EF,CF, ∵E 为 AB 的中点, ∴EF∥DB, 则∠CEF 为异面直线 BD 与 CE 所成的角, ∵ABCD 为正四面体,E,F 分别为 AB,AD 的中点, ∴CE=CF． 设正四面体的棱长为 2a, 则 EF=a, CE=CF= ． 在△CEF 中,由余弦定理得: = 故选:B． ．