2014广西高考理科数学真题及答案

2014 广西高考理科数学真题及答案 一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分） 1．（5 分）设 z= ,则 z 的共轭复数为（ A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i ） D．1﹣3i 2．（5 分）设集合 M={x|x2﹣3x﹣4＜0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=（ A．（0,4] B．[0,4） ） C．[﹣1,0） D．（﹣1,0] 3．（5 分）设 a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则（ ） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 4．（5 分）若向量 、 满足:| |=1,（ + ）⊥ ,（2 + ）⊥ ,则| |=（ A．2 B． C．1 ） D． 5．（5 分）有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小 组,则不同的选法共有（ A．60 种 B．70 种 6．（5 分）已知椭圆 C: ） C．75 种 D．150 种 =1（a＞b＞0）的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 + F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 A． + =1 B． +y2=1 C． + ,则 C 的方程为（ =1 D． 7．（5 分）曲线 y=xex﹣1 在点（1,1）处切线的斜率等于（ A．2e B．e C．2 + ,过 ） =1 ） D．1 8．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表 面积为（ ） A． B．16π C．9ππ D． 9π．（5 分）已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1 、F2,点 A 在 C 上,若|F1A|=2|F2A|,则 cos∠AF2F1=（ A． B． ） C． D． 10．（5 分）等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于（ A．6 B．5 11 ． （ 5 C．4 D．3 分 ） 已 知 二 面 角 α﹣l﹣β 为 60°,AB⊂α,AB⊥l,A 足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（ A． B． ） C． 为 垂 ） D． 12．（5 分）函数 y=f（x）的图象与函数 y=g（x）的图象关于直线 x+y=0 对称,则 ） y=f（x）的反函数是（ A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x） 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13．（5 分） 的展开式中 x2y2 的系数为 14．（5 分）设 x、y 满足约束条件 ．（用数字作答） ,则 z=x+4y 的最大值为 ． 15．（5 分）直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线,若 l1 与 l2 的交点为（1,3）,则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于 ． 16．（5 分）若函数 f（x）=cos2x+asinx 在区间（ 是 , ）是减函数,则 a 的取值范围 ． 三、解答题 17 ． （ 10 分 ） △ ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 已 知 3acosC=2ccosA,tanA= ,求 B． 18．（12 分）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn．已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 19π．（12 分）如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上, ∠ACB=9π0°,BC=1,AC=CC1=2． （Ⅰ）证明:AC1⊥A1B； （Ⅱ）设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 ,求二面角 A1﹣AB﹣C 的大小． 20 ． （ 12 分 ） 设 每 个 工 作 日 甲 、 乙 、 丙 、 丁 4 人 需 使 用 某 种 设 备 的 概 率 分 别 为 0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立． （Ⅰ）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； （Ⅱ）X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望． 21．（12 分）已知抛物线 C:y2=2px（p＞0）的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P, 与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|． （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M、N 两点, 且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程． 22．（12 分）函数 f（x）=ln（x+1）﹣ （a＞1）． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）设 a1=1,an+1=ln（an+1）,证明: ＜an≤ ． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分） 1．（5 分）（2014•大纲版）设 z= ,则 z 的共轭复数为（ A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i ） 【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简,则 z 的共轭可求． 【解答】解:∵z= ∴ = , ． 故选:D． 【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题． 2 ． （ 5 分 ） （ 2014• 大 纲 版 ） 设 集 合 M={x|x2﹣3x﹣4 ＜ 0},N={x|0≤x≤5}, 则 M∩N=（ ） A．（0,4] B．[0,4） C．[﹣1,0） D．（﹣1,0] 【分析】求解一元二次不等式化简集合 M,然后直接利用交集运算求解． 【解答】解:由 x2﹣3x﹣4＜0,得﹣1＜x＜4． ∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}, 又 N={x|0≤x≤5}, ∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0,4）． 故选:B． 【点评】本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题． 3．（5 分）（2014•大纲版）设 a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则（ ） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【分析】可得 b=sin35°,易得 b＞a,c=tan35°= ＞sin35°,综合可得． 【解答】解:由诱导公式可得 b=cos55°=cos（9π0°﹣35°）=sin35°, 由正弦函数的单调性可知 b＞a, 而 c=tan35°= ＞sin35°=b, ∴c＞b＞a 故选:C 【点评】本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题． 4．（5 分）（2014•大纲版）若向量 、 满足:| |=1,（ + ）⊥ ,（2 + ）⊥ ,则| |=（ ） A．2 B． C．1 D． 【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,可得（ + ）• =0,（2 + ）• =0,由此求得 | |． 【解答】解:由题意可得,（ + ）• = （2 + ）• =2 则| |= + =﹣2+ + =1+ =0,∴ =﹣1； =0,∴b2=2, , 故选:B． 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于基 础题． 5．（5 分）（2014•大纲版）有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女 医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（ A．60 种 B．70 种 C．75 种 ） D．150 种 【分析】根据题意,分 2 步分析,先从 6 名男医生中选 2 人,再从 5 名女医生中选出 1 人,由组 合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解:根据题意,先从 6 名男医生中选 2 人,有 C62=15 种选法, 再从 5 名女医生中选出 1 人,有 C51=5 种选法, 则不同的选法共有 15×5=75 种； 故选 C． 【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同．