2018甘肃高考理科数学真题及答案

2018 甘肃高考理科数学真题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1． 1  2i  1  2i A．  4 3  i 5 5 B．  4 3  i 5 5  C．  3 4  i 5 5 D．  3 4  i 5 5  2 2 2．已知集合 A   x ，y  x  y ≤ 3 ，x  Z ，y  Z ，则 A 中元素的个数为 A．9 B．8 3．函数 f  x   C．5 D．4 e x  e x 的图像大致为 x2 4．已知向量 a ， b 满足 | a | 1 ， a b  1 ，则 a (2a  b)  A．4 B．3 C．2 D．0 x2 y 2 5．双曲线 2  2 1 (a  0, b  0) 的离心率为 ，则其渐近线方程为 3 a b A． y  2 x 6．在 △ ABC B． y  3x 中， cos A． 4 2 7 ． 为 计 算 S 1  B． i i  2 C． i i  3 2 3 x D． y  x 2 2 C 5  ， ， ，则 BC 1 AC 5 2 5 AB  B． 30 C． 29 D． 2 5 1 1 1 1 1   …   ，设计了右侧的程序框 2 3 4 99 100 图，则在空白框中应填入 A． i i  1 C． y  开始 N 0, T 0 i1 是 i  100 否 1 i S N  T 1 i 1 输出S N N  T T  结束 D． i i  4 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是 “每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30 7  23 ．在不超过 30 的素数中， 随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 A． 1 12 B． 1 14 C． 1 15 D． 1 18 9．在长方体 ABCD  A1B1C1D1 中， AB BC 1 ， AA1  3 ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角 的余弦值为 A． 1 5 B． 5 6 C． 5 5 D． 2 2 10．若 f ( x) cos x  sin x 在 [ a, a ] 是减函数，则 a 的最大值是 A． π 4 B． π 2 C． 3π 4 D． π 11．已知 f ( x) 是定义域为 ( , ) 的奇函数，满足 f (1  x)  f (1  x) ．若 f (1) 2 ，则 f (1)  f (2)  f (3)  …  f (50)  A．  50 B．0 C．2 D．50 x2 y2 12．已知 F ， F 是椭圆 C： 2  2 1 (a  b  0) 的左、右焦点， 是 的左顶点，点 在 a b 1 2 A C P 过 A A． 且斜率为 2 3 3 的直线上， △ PF F 为等腰三角形， F F P 120 ，则 的离心率为 C 6 1 2 1 2 B． 1 2 C． 1 3 D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．曲线 y 2ln( x  1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为__________．  x  2 y  5 0 ，  满足约束条件  x  2 y  3 0 ，则 的最大值为__________． 14．若  x  5 0 ， z x  y x, y  15．已知 sin α  cos β 1 ， cos α  sin β 0 ，则 sin(α  β ) __________． 1 4 7 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为 16．已知圆锥的顶点为 ，母线 ， S SA SB SA 8 45°，若 △ SAB 的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 记 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和，已知 a1  7 ， S3  15 ． （1）求 {an } 的通项公式； （2）求 S n ，并求 Sn 的最小值． 18．（12 分） 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回 1，2 ， …， 17 t 归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模 型①： yˆ  30.4  13.5t 1，2 ， …，7 t ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型②： yˆ 99  17.5t ． （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12 分） 2 设抛物线 C：y 4 x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k  0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两 点， | AB | 8 ． （1）求 l 的方程 （2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程． 20．（12 分） 如图，在三棱锥 P  ABC 中， AB BC 2 2 ， PA PB PC  AC 4 ， O 为 AC 的 中点． （1）证明： PO  平面 ABC ； （2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M  PA  C 为 30 ，求 PC 与平面 PAM 所成角的 正弦值． P O A B C M 21．（12 分） x 2 已知函数 f ( x) e  ax ． （1）若 a 1 ，证明：当 x 0 时， f ( x) 1 ； （2）若 f ( x) 在 (0, ) 只有一个零点，求 a ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分． 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线  x 2 cos θ ， 的参数方程为  （ 为参数），直线 的参数  y 4sin θ C θ l 方程为  x 1  t cos α ，  （ 为参数）．  y 2  t sin α t （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1, 2) ，求 l 的斜率． 23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分） 设函数 f ( x ) 5  | x  a |  | x  2 | ． （1）当 a 1 时，求不等式 f ( x) 0 的解集； （2）若 f ( x) 1 ，求 a 的取值范围． 绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D 二、填空题 13． y 2 x 14．9 15．  1 2 16． 40 2π 三、解答题 17．解： （1）设 由 {an } a1  7 所以 {an } 的公差为 d，由题意得 3a1  3d  15 ． 得 d=2． 的通项公式为 （2）由（1）得 an 2n  9 ． Sn n 2  8n (n  4) 2  16 所以当 n=4 时， Sn ． 取得最小值，最小值为−16． 18．解： （1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 yˆ  30.4  13.5 19 226.1 (亿元)． 利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 yˆ 99  17.5 9 256.5 (亿元)． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： （ⅰ）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y  30.4  13.5t 上下．这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不 能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010 年相对 2009 年的环境基础设 施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这