2015年成人高考专升本高等数学一考试真题及答案

2015 年成人高考专升本高等数学一考试真题及答案 高等数学（一） 一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内. 1. 当 b 0 ，当 x  0 时， sin bx 是 x 2 的 A. 高阶无穷小量 B. 等价无穷小量 C. 同阶但不等价无穷小量 D. 低阶无穷小量 2. 设函数 f (x) 可导，且 lim x 0 x 2 ，则 f (1)  f (1  x )  f (1) A. 2 3. 函数 f ( x)  x 3  12 x  1 7. 的单调减区间为 B. (  , 2) C. ( 2,2) D. ( 2,) ，则 f ( x0 ) 0 x  x0 A. 为 f (x ) 的驻点 B. 不为 f (x) 的驻点 C. 为 f (x ) 的极大值点 D. 为 f (x ) 的极小值点 5. 下列函数中为 6. f ( x) e 2 x 的原函数的是 ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 1 2x e 2 A. e x B. C. e 2 x D. 2e 2 x x cos x 2 dx  A.  2 sin x 2  C B.  C. 2 sin x 2  C D. d dx （ D. 0 A. (  ,) 4. 设 ） B. 1 1 2 C. （ 0 te x t2 dt  1 sin x 2  C 2 1 sin x 2  C 2 A. xe x C. B. 2 xe  x D. 2  xe x 2  xe  x 2 z  x 8. 设 z  x y ，则 A. yx y  1 B. x y ln x C. x y  1 D. x y  1 ln x 9. 设 z x 2  y 3 ，则 dz (1,1)  A. 3dx  2dy B. 2dx  3dy C. 2dx  dy D. dx  3dy  10. 级数  (  1) n 1 n k （ k 为非零常数） n2 A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与 k 的取值有关 二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共 40 分. 把答案填在题中横线上. 11. ln(1  x 2 ) _________.  x 0 x2 lim 12. 函数 f ( x)  x2 的间断点为 x x 2 _________. 13. 设 y  x 2  e x ，则 dy _________. 14. 设 y ( 2  x )100 ，则 _________. y  dx _________. x 15. 3  16. 1 x 17. e 1 x 1 1 0 3x 2 dx _________. dx _________. 18. 设 z  y 2 sin x ，则 z _________. x 19. 微分方程 y  2 x 的通解为 y _________. （ ） （ ） （ ）  20. 级数  x n 的收敛半径 R _________. n 1 三、解答题：21～28 小题，共 70 分. 解答应写出推理、演算步骤. 21. （本题满分 8 分） 计算 sin( x  1) . x 1 x2  1 lim 22. （本题满分 8 分） 设曲线方程为 y e x  x 23. （本题满分 8 分） 计算 e  x x dx . 24. （本题满分 8 分） e 1  ln x 计算  dx . 1 x ，求 y  x 0 以及该曲线在点 (0,1) 处的法线方程. 25. （本题满分 8 分） 求曲线 y  x 3 与直线 y  x 所围图形（如图中阴影部分所 示）的面积 S . 26. （本题满分 10 分） 设二元函数 z  x 2  xy  y 2  x  y  5 ，求 z 的极值. 27. （本题满分 10 分） 求微分方程 y  1 y  x 的通解. x 28. （本题满分 10 分） 2 x ydxdy ，其中 D 是由直线 y  x ， x 1 及 x 轴围成的有界区域. 计算  D 2015 年高等数学（一）试题参考答案 一、选择题：每小题 4 分，共 40 分. 1. D 2. C 3. C 4. A 6. D 7. B 8. A 9. B 二、填空题：每小题 4 分，共 40 分. 11. 1 12. 2 13. 14. (2 x  e x ) dx 5. B 10. A 100( 2  x) 99 15.  ln 3  x  C 16. 0 17. 1 3 (e  1) 3 18. y 2 cos x 19. x 2  C 三、解答题：共 70 分. 21. 解： 20. 1 sin( x  1) cos( x  1) lim 2 x 1 x 1 x 1 2x lim  22. 解： y e x  1 ， 1 . 2 y  x 0 2 . 曲线在点 (0,1) 处的法线方程为 y  1  1 ( x  0) ， 2 即 x  2 y  2 0 . 23. 解：设 x t ，则 x t 2 ， dx 2tdt . e  x e t dx  2tdt t x 2 e  t dt  2e  t  C  2e  x C . e 1  ln x e 1 e ln x 24. 解：  dx  dx   dx 1 1 1 x x x ln x 1e   25. 解：由对称性知 1 S 2 ( x  x 3 ) dx 0 3 . 2 1 (ln x ) 2 2 e 1