2017年天津高考文科数学真题及答案

2017 年天津高考文科数学真题及答案 本试卷分为第Ⅰ卷Ⅰ卷卷（选择题）和第Ⅰ卷Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷Ⅰ卷卷 1 至 2 页，第Ⅰ卷Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用 条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将 本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷Ⅰ卷卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： ·如果事件 A，B 互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)． ·棱柱的体积公式 V=Sh. 其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． 4 3 ·球的体积公式 V  πR 3 .其中 R 表示球的半径. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 （A） {2} （2）设 A {1, 2, 6}, B {2, 4}, C {1, 2,3, 4} （B） xR {1, 2, 4} ，则“ （C） 2  x 0 {1, 2, 4, 6} ”是“ （D） | x  1|1 ，则 ( A  B ) C  {1, 2,3, 4,6} ”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 （3）有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫 .从这 5 支彩笔中 任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A） 4 3 2 1 （B） （C） （D） 5 5 5 5 （4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 19，则输出 N 的值为 （A）0 （B）1（C）2（D）3 （5）已知双曲线 x 2 的左焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， y2 F  2 1(a  0, b  0) A 2 a b △ OAF 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点），则双曲线的方程为 （A） x 2 4  （B） x 2 y 2 （C） x 2 （D） 2 y 2 y2 1  1  y 2 1 x  1 12 12 4 3 3 1 5 （6）已知奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数.若 a  f (log 2 ), b  f (log 2 4.1), c  f (20.8 ) ， 则 a, b, c 的大小关系为 （A） a  b  c （B） b  a  c （C） c  b  a （D） c  a  b （7）设函数 f ( x) 2sin( x   ), x  R ，其中   0,|  | π .若 f ( 且 f ( x) 的最小正周期大于 2 3 2π 5π 11π ) 2, f ( ) 0, 8 8 ，则 π 2 11π 1 11π （ B ）   ,   （ C ）   ,   （ D ） 12 3 12 3 24 （ A ）   ,  1 7π   ,  3 24 | x | 2, x  1, x 设 a  R ，若关于 x 的不等式 f ( x) |  a | 在 R 上 2 2  x  x , x 1. （8）已知函数 f ( x)   恒成立，则 a 的取值范围是 （A） [ 2, 2] （B） [ 2 3, 2] （C） [  2, 2 3] （D） [  2 3, 2 3] 第Ⅰ卷Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 12 小题，共 110 分。 二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9）已知 a  R ，i 为虚数单位，若 a i 为实数，则 a 的值为 . 2i （10）已知 a  R ，设函数 f ( x) ax  ln x 的图象在点（1， f (1) ）处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为 . （11）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个 球的体积为 . （12）设抛物线 y 2 4 x 的焦点为 F，学 科&网准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆 与 y 轴的正半轴相切于点 A.若 FAC 120 ，则圆的方程为 . （13）若 a， b  R ， ab  0 ，则 （14）在△ABC 中， A 60 a 4  4b4  1 的最小值为 . ab ，AB=3，AC=2.若  ， （    BD 2 DC AE  AC  AB   R   ），且 AD AE  4 ，则  的值为 . 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分 13 分） 在 △ ABC 中 ， 内 角 ac  5(a 2  b 2  c 2 ) A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c . 已 知 a sin A 4b sin B ， . （I）求 cos A 的值； （II）求 sin(2 B  A) 的值. （16）（本小题满分 13 分） 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两 套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不 少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍.分别用 x ，学&科 网 y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. （I）用 x ， y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？ （17）（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 P  ABCD 中， AD  平面 PDC ， AD∥ BC ， PD  PB ， AD 1 ， BC 3 ， CD 4 ， PD 2 . （I）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值； （II）求证： PD  平面 PBC ； （Ⅲ）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值. （18）（本小题满分 13 分） 已知 {an } 为等差数列，前 n 项和为 Sn (n  N* ) ， {bn } 是首项为 2 的等比数列，且公比大 于 0， b2  b3 12, b3 a4  2a1 , S11 11b4 . （Ⅰ卷）求 {an } （Ⅱ）求数列 和 {bn } 的通项公式； {a2 nbn } 的前 n 项和 ( n  N* ) . （19）（本小题满分 14 分） 设 a, b  R ， | a |1 .已知函数 f ( x)  x3  6 x 2  3a( a  4) x  b ， g ( x ) e x f ( x ) . （Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间； （Ⅱ）已知函数 （i）求证： y  g ( x) f ( x) 在 和 x  x0 y e x 的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， 处的导数等于 0； （ii）若关于 x 的不等式 g ( x) e x 在区间 [ x0  1, x0  1] 上恒成立，求 b 的取值范围. （20）（本小题满分 14 分） 已知椭圆 x 2 a2 △ EFA  的左焦点为 ，右顶点为 ，点 的坐标为 ， y2 F (  c, 0) (0, c) A E 1(a  b  0) 2 b 的面积为 b 2 . 2 （I）求椭圆的离心率； 3 2 （II）设点 Q 在线段 AE 上， | FQ | c ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P ，点 M ， N 在 x 轴上， PM ∥ QN ，且直线 （i）求直线 FP 的斜率； （ii）求椭圆的方程. PM 与直线 QN 间的距离为 ，四边形 c PQNM 的面积为 3c .