2017年上海高考数学真题及答案

2017 年上海高考数学真题及答案 （满分 150 分，时间 120 分钟） 一. 填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题， 1 6 题每题 4 分， 7 12 题每题 5 分. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律 得零分. 1. 已知集合 A  B ， 2 ， 3 ， 4 2. 若排列数 P6m 6 5 4 3. 不等式 ， B  3 ， ， 5 ，则 A B   4  ，则 m  x 1  1 的解集为 x . . 4. 已知球的体积为 36 ，则该球主视图的面积为 5. 已知复数 z 满足 z  6. 设双曲线 x 2 9 | PF1 | 5  ，则 3 0 ，则 | z |  z . . 的焦点为 、 ， 为该双曲线上的一点，若 y2 F1 F2 P 1 (b  0) 2 b | PF2 |  7. 如图所示，以长方体 D z . D1 ABCD  A1 B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若  坐标为 (4 ， ， 2) ，则  的坐标为 3 AC1 8. 定义在 (0 ， ) 3x  1 g ( x)   f ( x) . 的函数 y  f ( x) 的反函数为 DB1 B1 D A 的 x . y  f  1 ( x) ，若函数 x 0 为奇函数，则方程  1 f ( x ) 2 的解为 x 0 9. 给出四个函数：① y  x ；② y  A1 . 1 1 ；③ y  x 3 ；④ y  x 2 ，从其中任选 2 个，则 x 事件 A ：“所选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率是 . C1 B C y 10. 已知数列 a 和 b ，其中 an n 2 (n  N  ) ，  bn  的项是互不相等的正整数，若对  n  n 于任意 n N ，数列 lg (b b b b )  bn  中的第 an 项等于  an  中的第 bn 项，则 lg (b1 b4 b8 b16)  1 2 3 4 . 11. 已知 1 ，  2  R ，且满足等式 小值为 1 1  2 ，则 |10  1   2 | 的最 2  sin1 2  sin 2 2 . 12. 如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P1 、 P2 、 P3 、 以及四个标记为“ 5 # ”的 点在正方形的顶点处，设集合   P ， P ， P ， P ，点 ，过 作直线 l ，  1 2 3 4 P   P PP4 P1 使得不在 侧的“ 满足 # lP 上的“ ”的点到 lP # ”的点分布在 lP 的两侧. 用 的距离之和. 若过 D1 (lP ) D2 (lP ) ，则  P 的直线 中所有这样的 P D1 (lP ) lP 和 D2 (lP ) 分别表示 lP P2 一侧和另一 P3 中有且仅有一条 为 . 二. 选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确. 考生应在答题 纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 13. 关于 x 、 y 的二元一次方程组  x  5 y 0 的系数行列式  2 x  3 y 4 A. 0 5 4 3 B. 1 0 2 4 n C. （ D 1 5 2 3  1 14. 在数列 a 中， an （  n an    ， n  N  ，则 nlim  ） D. 6 0 5 4 ）  2 A. 等于  1 2 B. 等于 0 C. 等于 1 2 D. 不存在 15. 已知 a 、 、 c 为实常数，数列 x 的通项 xn an 2  bn  c ， n  N  ，则“存在  n b k  N ，使得 x100k A. a 0 ， x200k ， x300k 成等差数列”的一个必要条件是（ B. b 0 16. 在平面直角坐标系 xOy C. c 0 中，已知椭圆 ） D. a  2b  c 0 和 ， 为 上 x2 y2 y2 2 C1 :  1 C2 : x  1 P C1 36 4 9 的动点， Q 为 C 上的动点，设  为   的最大值，记集合   (P ， Q ) | P 在  OP OQ 2   C1 上， Q 在 C2 上，且 OP OQ  ，则  中元素的个数为（ ） A. 2 个 D. 无数个 B. 4 个 C. 8 个 三. 解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 17. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 如图，直三棱柱 ABC  A1 B1C1 的底面为直角三角形，两直角边 B1 和 AC 的长分别为 和 ，侧棱 4 ① 求直三棱柱 ②若 M 为棱 2 ABC  A1 B1C1 BC AA1 C1 AB 的长为 . A1 5 C 的体积； B 上的中点，求直线 A1M 与平面 ABC A 所成角的大小. 18. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) cos 2 x  sin 2 x  1 ， x  (0 ，  ) . 2 ① 求函数 f ( x) 的单调递增区间； ② 在锐角三角形 f ( A) 0 ，求 ABC ABC 中，角 A 所对的边 a  19 ，角 B 所对的边 b 5 ，若 的面积. 19. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 根据预测，某地第 辆），其中 n (n  N  ) 个月共享单车的投放量和损失量分别为 an 和 bn （单位： 5n 4  15 1 n 3 ， an  bn n  5 ，第 n 个月的共享单车的保有量是 470  10 n n  4  前第 n 个月的的累计投放量与累计损失量的差. ① 求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量； ② 已知该地区共享单车停放点第 n 个月底的单车容纳量（单位：辆） Sn  ( n  46) 2  8800 ， 设在某月底，共享单车保有量达到最大，则该保有量是否超 过了此时停放点的单车容纳量. 20. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. 在平面直角坐标系 在第一象限，且 P ② 设点 ③若 中，已知椭圆 ， 为 的上顶点， 是 上异 x2 P   :  y 2 1 A  4 顶点的动点， M 为 x 轴正半轴上的动点. 于上、下 ①若 xOy | OP |  2 ，求点 P 的坐标；  8 3 P  ，  ，且 A 、 P 、 M 为顶点的三角形为为直角三角形，求 M 的横坐标；  5 5     | MA | | MP | ，直线 AQ 与  交于另一点 C ，且 AQ 2 AC ， PQ 4 PM ，求 直线 AQ 的方程.